図形の計量の問題(644)を教えて頂きたいです。 正六角形の対角線を回転軸として回転させてできる回転

図形の計量の問題(644)を教えて頂きたいです。

正六角形の対角線を回転軸として回転させてできる回転体は2種類あるが、大きいほうの体積は小さいほうの何倍になるか。ただし√3=1.73とし、小数第2位を四捨五入する。

宜しくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/12 12:13

6角形の頂点をABCDEFとすして1辺の長さをaとする

対角線の引き方はACやADがあるが、正6角形なんで他の対角線もその長さは
短いものがACと一致、長いものがADと一致です

まずは　対角線ADを軸に回転させる場合について
図形はADに関して線対称なんで、四角形ABCDを回転させたものと6角形を回転させたものとではその回転体の形状は同じになる
そこで、四角形ABCDの回転体について考える
B、CからADに垂線BHとCH'をおろすして考えると
該当の回転体は、△ABHの回転体…①と四角形BCH'Hの回転体…②と△CDH'…③の回転体を組み合わせたものであることが分かる
ここで、正6角形の1つの内角は120°なんで　∠BAH=60°だから
直角三角形ABHの三角比から
BH=ABsin60°=√3a/2
AH=ABcos60=a/2
HH'=BC=aとなる
ゆえに　回転体はいずれも底面が半径√3a/2の円だとわかり
①➂は高さがa/2の円錐であるから
それぞれの体積は　(1/3)・(√3a/2)²π・(a/2)=a³π/8となる
②はその高さがaの円柱なんで　体積は、(√3a/2)²π・a=3a³π/4
よって①②➂をあわせて　ADを回転軸にした時の回転体の体積は
(a³π/8)x2+(3a³π/4)=a³π

次に　ACを回転軸とした回転体について
△ABCは∠B=120度の2等辺三角形なんで
角ACB=30°
このことから∠ACD=120-30=90度となる
ゆえに回転体を考えると　△ABCの回転体は５角形ACDEFの回転体の内部に含まれることになることが分かるはず
こんことから、5角形ACDEFの回転体の体積を考える
まず、EからACへ垂線EIを降ろす
そうすると　BI=ABsin30=a/2なんで
EI=EB-BI=2a-0.5a=(3a/2)となる
そうしたら、IAの延長とEFの延長の交点をJとする
角JEI=60度なんで
JI=IEtan60°=(3a/2)√3
ゆえに　、△JBEの回転体の体積は
(1/3)(3a/2)²π・(3√3a/2)=9√3a³π/8
また、JA=JI-AI=(3√3a/2)-ABcos30=(3√3a/2)-(√3a/2)=√3aより
△JAFの回転体の体積は
(1/3)a²π・√3a=(√3/3)a³π
このことから　四角形ABEFの回転体の体積は
JBEの回転体の体積ーJAFの回転体の体積=(9√3a³π/8)-(√3/3)a³π
したがって　
ACDEFの回転体の体積=四角形ABEFの回転体の体積x2
も求められるはず

これらの情報をもとに求める倍率を自分で計算してみてください

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/01/12 11:53

正六角形の一辺の長さをaとして、

短い方の対角線を回転軸として回転させてできる回転体の体積は
(9√3-8)/12*πa^3＝0.63πa^3
長い方の対角線を回転軸として回転させてできる回転体の体積は
πa^3
よって、πa^3/0.63πa^3=1.6 倍

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/01/12 11:48

対角線で分けられた図形の重心がわかれば

後は パップス・ギュルダン で計算できると思う。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/12 10:40

パップス・ギュルダンの定理 を使うと良さそうだな。