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xについての2次方程式
(x-1)(x-2)+k(x-a)=0
がすべての実数kに対して実数解をもつように、実数aの範囲を定めよ。


という問題なのなのですが、kの恒等式と考えて
(x-1)(x-2)=0
x-a=0
からa=1, 2で間違っているのは何故でしょうか?


xの2次方程式に変形して判別式からaの範囲を求めるやりかたでaを求める方法で
答えは
1≦a≦2でした。



お手数ですが、お願いします。

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A 回答 (9件)

アドバイスの追加です。

いくつか気のついた事を。

(1) 方程式と恒等式について。
    方程式は「特定の」値に対して成り立っている式
    恒等式は「すべての」値に対して成り立っている式
というふうに、まったく別物のような感じがしますが、1つの変数についての方程式が、(それを解いたら、解が定義域全体となって、)結果としてその変数についての恒等式にもなっている場合があります。(例えば、xを実数として |x| = √(x^2) とか)

(2) 多変数の恒等式について。
与えられた式が多変数を含む場合の恒等式の定義を、正確には知りません。多変数の中のある1つの変数についての恒等式であるという場合、それ以外の変数は変化してもいいのでしょうか、いけないのでしょうか?
今回問題にしている式は、変数としてxとkとaがありますが、この式を「kの恒等式である」と主張する場合、残りの変数xやaについてはどのように捉えるべきでしょうか?
つまり、今回の式では、
    (i) 「すべてのx,a」について、「すべてのkについて、与式が常に成り立っている」
のか、(ii) 「ある特定のx,a」があって、「すべてのkについて、与式が常に成り立っている」
のか、(iii)「すべてのk」について、それぞれに「ある特定のx,a」があって、与式が常に成り立っ
      ている
のか。
普通に考えると、「恒等式」というのですから、(i)のような気がします。しかし今回の式の場合は、No.5さんが述べているようにxの方程式で、「すべてのkについて、実数解xがある」というのですから、(iii)だと思います。
つまり多変数の場合は、むやみに「○○についての恒等式である」というのは、問題がある気がします。

(3) 式変形について。
上記の(2)より、もし(iii)のような解釈だとすると、

今回の式、(x-1)(x-2)+k(x-a)=0 について、
  与式は、kの恒等式だから、
  (x-1)(x-2)=0 かつ (x-a)=0
  ゆえに、x=a=1,2
というのは、間違っていますし、
  与式は、kの恒等式だから、例えばk=3,7を代入して、
  (x-1)(x-2)+3(x-a)=0  ・・・A
  (x-1)(x-2)+7(x-a)=0  ・・・B
  としても、これらの式の中のxは、AでのxとBでのxとでは、同じ値のxとは必ずしも言えない
  ので、これより、
  -4(x-a)=0
  だから、結局、
  x=a
  となる、
とは言えないのではないでしょうか。
言えるとしたら、
  もし「特定のxについて、与式が恒等式になる」ならば、x=aでなければならない。
ということではないでしょうか。
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NO5ですが゛、この問題は、実数 kについて恒等であるための aのとる範囲を求めよ。

ただしxは実数
というのと同じことではないでしょうか。ただ解き方の誘導としてxの実数条件から解きなさいといことだと思うのですが

グラフを書いてみても(x-1)(x-2)のグラフは固定されますが、k(x-a)はaを固定したとしても、平面すべてをとおることになりますから kについては
恒等式だと思いますが 解き方はまあ普通xの実数条件からはいりますけどね。 しかしkの恒等式と考えても、おかしくはないと思いますが
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NO5ですが回答者同士が議論するのは禁止されていますが異論があるので回答します


  前の方も書いておられるように
  方程式とは、特定の値に対し成立するもの
  恒等式とは、すべての値に対し成立するもの
 上記の問題については、これも前の方が解の公式を書い ておられるから、よく見てください

  xの解の中にkが入っています。kはすべての実数を  とりますから、それにつれてxもすべての実数をとり  ます。問題には方程式と書いていますが、これは、恒  等式です
  質問者は、今回の場合とき方が係数比較で解いたのが
  まずかったというだけ

  NO3の方の言っておられる意味がわかりにくい
  こういうように書いてあれば、それが正解ですの
  こういうようにの意味がわかりづらい
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気のついたことを2つ述べたいと思います。



(1) まず、「恒等式」を使った解き方について。
これはNo.1さんが述べているように、
  α+kβ=0
がkについての恒等式のとき、
α,βが定数であれば(α,βの値がそれぞれ一定であれば)、
  α=0 かつ β=0
が言えます。(今は、α =(x-1)(x-2),β =(x-a))

しかし、今回ご質問の場合は、kの値によって実数解xの値が変化してしまうので、αおよびβが定数にならず、この推論は成り立ちません。
実際、最初の式をxについて解くと、
  x=(1/2)〔3-k±√{k^2+(4a-6)x+1}〕
となり、kの値によって変化してしまいます。(aの値を上手く変化させれば(x-1)(x-2)の方の値は定数にできるかもしれませんが、そのときは(x-a)の方の値が定数になりません。)

ですから、与式がkについての恒等式である、という事からはこの問題は解けません。

(2) この問題を図形的に見直してみます。
与式を
  (x-1)(x-2)=-k(x-a)
と変形し、
  y=(x-1)(x-2) ・・・(i)
  y=-k(x-a)    ・・・(ii)
という2つの関数を考えると、
  (i) は、x切片が1と2の2次関数(放物線)
  (ii) は、x切片がaの1次関数(直線)
だから、求める実数解xはこの2つのグラフの共有点(のx座標)ということになります。

ここで、-kは直線(ii)の傾きを表していますから、すべての実数k(すべての直線の傾き-k)に対していつでも、これら2つのグラフの共有点が(少なくとも1つ)存在するためには、直線(ii)のx切片aが1から2の間にあればよい訳です。つまり、
  1≦a≦2

なお、グラフで考えると、aの値が 1≦a≦2 以外のときは(いつでも)、kの値によって、実数解xが2つある場合と1つしかない場合と全くない場合が出てきます。

逆に、0以外のどんな実数kについても、aの値を上手く選べば、解xを2つにしたり1つだけにしたり無くしたりすることができます。

また、No.3さんが述べているように、すべてのkについて一定な解xが存在するためには、a=1 または a=2 であり、そのときに限ります。なおこのとき、その一定な解xは、a=1のときはx=1の1個に、a=2のときはx=2の1個にそれぞれ限ります。
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まず普通の考え方で説明しますと


  問題にxの2次方程式とまずかかれています
   他の文字 k,aは、係数または定数扱いになりま   す。したがって xの実数条件が最優先されます

次に あなたのすべてのkについてだからkの恒等式と考えてはどうかという問題ですが別に間違いではありません
ただ解き方が長くなります
  恒等式の性質は、この場合kは1次ですから任意の
  2数を代入して成立する条件を求めます
   (次数+1だけの任意の数を代入して成立すること    が恒等式の条件)
  (x-1)(x-2)+k(x-a)=0 をkについて整頓して
  (x-a)k+(x-1)(x-2)=0
 
  k=5,3を代入します
   (x-a)x5+(x-1)(x-2)=0 ・・(1)
   (x-a)x3+(x-1)(x-2)=0 ・・(2)
  (1)-(2)より
    (x-a)x2=0
     ∴ x=a のとき常にkについて恒等である
  ところで (x-a)k+(x-1)(x-2)=0 
  xは、実数だから
    x^2-(3-k)x-ak+2=0において
    判別式≧0より  2≧a≧1
    と結局 xの実数条件が必要になってきます
また あなたの係数0で解くのも恒等式の解き方ですが
  あくまでも、x,aが係数、定数の場合用いることができ、この場合xは、実数全部をとれる変数ですから
まずかったと思います
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まず恒等式とは何か.それを理解するためには「等号」を知らねばならない.



次の三つの等号はそれぞれ意味が異なる.

(1) x^2-3x+2=0
(2) x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
(3) y=x^2-3x+2

自分でその違いが説明できますか?

(1) の等式はxに特定の値を代入したときのみ成立し「方程式」といわれる.
(2) の等式はxに任意の値を代入したとき成立し「恒等式」といわれる.
(3) の等式は y が x2-3x+2で定まる x の関数であること, あるいは x2-3x+2 を y と置いたことを意味している.また, x と y の等式と見れば一定の の値に対してのみ成立する 一種の方程式(不定方程式)でもある.

このように等号はいろんな意味があるので,常に意識して等号の意味を考えなければならない.
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ついでですが、もし



「xについての2次方程式
(x-1)(x-2)+k(x-a)=0
がすべての実数kに対して『同一の』実数解を『少なくとも1つ』もつように、実数aの範囲を定めよ。」

という問題であれば、お書きの答が正解です。

元の問題文との違いに注目してください。
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実数解を持つ というのは


2次方程式の話です
基本を思い出しましょう
グラフ でX軸と放物線のグラフが 交わるか
接するか 離れてるか です

ですから 展開して 判別式を使うんですよ
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任意の実数kについてそれぞれxが実数になればそれでいいのであって、xが決まった値をとることまで要求しているわけではありません。

つまり、kごとに、異なったxがあっていいのです―実数解でさえあれば。したがって、恒等式ではありません。
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Q定数って?実数・定数の使い分けって?

こちら現在高校生です。
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あと、よく例題を見てみると「(k:定数)」や「(k:実数)」などと書いてありますがこの定数、実数の使い分けはどのようにするのでしょうか。

少々わかりづらい質問ですが、ご回答お願いします。

Aベストアンサー

「定数」は「どんな数でも良いがある値を持っていて"変化しない"数」です。
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Q至急!1対1対応の演習 一文字固定法

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先に示した解で、xを一時定数とみて、yを先に動かして最大値Aをxでもとるめる。そして、xの値の範囲でAの最大値を求める。

問題は、どちらを先に一時定数と見るかによって、解の難しさが違ってくる事だ。
先の解でも、yを一時定数とみてxを先に動かすと、面倒になる。
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Q酸化作用とは?

大学受験範囲です

問題を解いているときに「酸化作用」という用語が出てたのですが知りませんでした。
検索してみたのですが、定義等みつけられませんでした。



(1)「酸化作用」の定義を教えてください

(2)「酸化作用が強い」や「酸化作用が弱い」などという記述もあったのですがその意味を教えてください

(3)↑その強弱がなにに由来するか教えてください

(3)「酸化作用の強さ」と
「酸化剤としての強さ」「還元剤としての強さ」はどういう関係になっているのでしょう?

Aベストアンサー

酸化作用とは、文字通り
 相手の物質を「酸化させる」作用
のことです。つまり、"酸化させる"とはどのようなことを意味するのだったかを再確認すれば良いのです。

(1)「相手に酸素Oを無理矢理でも与えること」を"酸化させる"の意味とするなら
 相手に酸素を与える作用を、酸化作用という、ということになります。
 たとえば、酸化銅CuOを炭素と共に熱してやると、CuOがOを炭素Cに与えて、自身は銅の単体になり、相手(炭素)はCO2となりますから、「CuOはCに対して酸化作用を及ぼした」、と言えます。
(2)「相手から水素Hを奪い取ること」を"酸化させる"の意味とするなら
 相手から水素を奪う作用を、酸化作用という、ということになります。
 たとえば、エタノールC2H5OH の適当な温度の蒸気にして酸化銅CuOに触れさせると、エタノールは一部の水素原子を失ってアセトアルデヒドになりCuOは、CuとH2Oとに変化します。このときは、「CuOはエタノールに対して酸化作用を及ぼした」、と言えます。
(3)「相手物質から電子を奪い取ること」を"酸化させる"の意味とするなら
 相手物質から電子を奪う作用を、酸化作用という、ということになります。
 たとえば、CuOは、CuはCu++,OはO--のイオンとして結合し合っているとみることができます。CuOに高温の水素H2を触れさせると、Cu++はH2から電子を奪って、自身はCu単体になり、HはH+となり、O--と結合してH2Oなります。
このとき、「CuOの銅Cuは、H2に対して酸化作用を及ぼした」と言えます。

"酸化"には、上記のように、多様な見方(説明)があります。(1),(2)は、酸素や水素が関与している反応の場合に限定的ですが、(3)は、そのような限定から解放されている、より"本質的"な定義と言えます。もちろん、(3)の見方をするなら、酸素を与えること,水素を奪うことも含めて、統一的に説明できます。

ですから、何も限定していない状況下なら、「相手物質から電子を奪い取る作用」を"酸化作用"と呼ぶのが良いでしょう。



酸化作用の強弱。これも文字通り、酸化作用が強いか弱いかのことです。
たとえば、過マンガン酸カリウム KMnO4 は、多くの物質に対して酸化作用を及ぼすことができる、かなり酸化作用の強い酸化剤です。
一方、過酸化水素 H2O2 は、相手によっては酸化作用を及ぼすことができるのですが、過マンガン酸カリウムと反応するときには、むしろ酸化される側になります。
つまり、KMnO4はH2O2より酸化作用が強い、と言えるわけです。
酸化作用の強さは、相手物質が何かによって、変わるということは知っておきましょう。

酸化作用の強弱が生じる理由。 或る物質が、他の物質と電子の遣り取りをする反応をする際に、電子を奪う側になるか失う側になるかは、物質の性質によります。電子を奪う側になりやすい物質は、酸化作用の強い物質といえますし、相手によっては電子を奪うこともあるが、別の物質相手だとその作用を発揮できないなら、酸化作用はそれなりの強さということになるでしょう。

酸化作用を示す物質を、酸化剤と言います。或る物質Aが、他の或る物質Bに対して酸化作用を示すなら、AはBに対して酸化剤として働いた、と言います。もちろん、酸化作用が強い物質は、強い酸化剤です。
酸化作用をしている物質に対して、還元剤という呼称は使いません。還元作用(酸化作用の逆です)をする物質を還元剤と言い、その作用が強ければ強い還元剤ということになります。 ただし、先に書きましたように、H2O2のように、相手物質が何であるかによって、酸化作用を示す場合と還元作用を示す場合があるように、酸化剤・還元剤という呼称も、相手物質を指定して初めて意味が有る言葉となります。

酸化作用とは、文字通り
 相手の物質を「酸化させる」作用
のことです。つまり、"酸化させる"とはどのようなことを意味するのだったかを再確認すれば良いのです。

(1)「相手に酸素Oを無理矢理でも与えること」を"酸化させる"の意味とするなら
 相手に酸素を与える作用を、酸化作用という、ということになります。
 たとえば、酸化銅CuOを炭素と共に熱してやると、CuOがOを炭素Cに与えて、自身は銅の単体になり、相手(炭素)はCO2となりますから、「CuOはCに対して酸化作用を及ぼした」、と言えま...続きを読む

Q比較級 than SV について

こんにちは。比較級を勉強しているのですが、以下の文で
thanの後がSVになる場合とそうでない場合の違いがわかりません。
どういう時に than SV になるのか教えていただけると助かります。

〈thanの後がSVにならない場合〉
She walks more slowly than other girls.
He can speak English better than me.
Tom got to the station earlier than his friends.

〈thanの後がSVになる場合〉
He read the book more carefully than I did.
My brother studies much longer than I do.
Do you study harder than he does?

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

こちらでいろいろな考えが出てきています。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1654320.html

単純にいうと,接続詞か前置詞か。
さらに接続詞なら省略も含まれる。
さらには,接続詞と言っても従属接続詞的な場合もあれば等位接続詞
的な場合もあり,関係代名詞的なものもある。

than the record のように接続詞的には説明できず,
句構造(前置詞)としか考えられないものが出てくる。

He is taller than me.
は長い間,日本では誤りだとされてきました。
he is tall と I am tall と比べるんだから I という主格。

現実には He is taller than I. という英語は避けられ,
He is taller than I am.
とするか,
He is taller than me. とする。

than me というのはネイティブにとっては極めて普通の英語です。

He likes her better than he likes me. の省略が
He likes her better than me. だという意見もよく見ますが,
He likes her better than I like her. も
He likes her better than me. と言えます。

まさしく,日本語の「彼は私より彼女の方が好きだ」という日本語で
「私より」が「彼は」との比較か,「彼女を」との比較か
あいまいになるのと同じ。
than me というのはそういう表現です。

上であげた質問の回答にもありますが,than ~は先に表現ありき,
文法の説明は後付け。

こちらでいろいろな考えが出てきています。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1654320.html

単純にいうと,接続詞か前置詞か。
さらに接続詞なら省略も含まれる。
さらには,接続詞と言っても従属接続詞的な場合もあれば等位接続詞
的な場合もあり,関係代名詞的なものもある。

than the record のように接続詞的には説明できず,
句構造(前置詞)としか考えられないものが出てくる。

He is taller than me.
は長い間,日本では誤りだとされてきました。
he is tall と I am tall と比べるんだから I という主格...続きを読む

Qやればやるほど落ちる模試結果

センターまで2ヶ月を切った高3の者です。
私は河合塾や進研の模試を六月から毎回うけています。
ココ最近夏休み開けくらいからの模試が毎回うまくいきません。
特に英語と日本史が下がりっぱなしです。
もともと英語は苦手で、いい時でさえ5割ちょいです。なのに河合のセンタープレではとうとう5割をきり90台になってしまいました。
また、日本史は夏頃はいい時で8割くらいだったのにセンタープレでは40点台になってしまいました。

不安なのは悪い点数の時もいい点数の時と変わらない達成感があるということです。『結構よくできた』とおもってても5割未満でした。また、周りの友達が突然上がり出したことに焦りを覚えていることも不安な点の一つです。いままで余裕で勝っていた友達にいまでは全教科負けていてすごく悔しいしどうすればいいのか不安でいっぱいです。

こんな事言ってる暇に勉強するのが一番なのですが…
私はどうすればいいのでしょうか。勉強を前より怠っているわけではないのに!

Aベストアンサー

元塾講師です。

 模試の偏差値は「マラソン」と同じ仕組みです。
 マラソンでは30キロ過ぎごろに誰かがスパートをして他の人を引き離します。その際、トップの人とついていけない人との差がどのようになっているかを気にしますが、この両者とも走っていることには変わりません。つまり、聴衆が見ている部分は「両者の差」だけであり、各々が走っているという事実は忘れ去られています。
 4月に模試を受けて偏差値50だった人間が、その後まったく勉強しない状態で10月にまた模試を受けた場合、偏差値は40程度になる場合があります。他の人は半年間勉強しているわけであり、自分だけが勉強しないということは、先のマラソンでは自分だけが走らなかった状況になります。他の人が進んでいる分だけ自分だけが落ちているようになります。
 こうした観点から、成績を維持するということは集団の平均的な勉強量と同じ程度を勉強している状況であり、下がっている場合は多少なりとも平均より勉強していないと判断されます。自分が一生懸命かどうかは変わりません。死に物狂いで勉強しても平均以下の場合もありますし、サボりまくっても平均以上の人もいます。また、直前期は皆の勉強量が増えるはずであり、多少増やした程度では成績は下がります。

 ちなみに、模試の成績を見る限り、正直模試を受ける段階ではありませんし、模試を受ける時間があるなら参考書を勉強した方がましです。100ページを超えないような薄めの参考書をマスターすべきです。
 模試というのは、それまでの勉強の方法などが正しいか・覚えるべきものが覚えられているかを計るものであり、何もない人は受けるだけ無駄になります。5割も90点も大して違いはありません。1人の人間の調子の良し悪しの違い程度であり、150点を超えていた人が100点になったのであれば問題ですが、そのレベル(5割と90点)一括りに基礎力不足です(模試の成績表にも必ず書いてあるはずです)。
 この時期にそうした状態であれば、自分の成績を見ながらどこの大学は大丈夫そう等という予測は立てられません。いきたい大学に向けてひたすら勉強するだけです。
ご参考までに

元塾講師です。

 模試の偏差値は「マラソン」と同じ仕組みです。
 マラソンでは30キロ過ぎごろに誰かがスパートをして他の人を引き離します。その際、トップの人とついていけない人との差がどのようになっているかを気にしますが、この両者とも走っていることには変わりません。つまり、聴衆が見ている部分は「両者の差」だけであり、各々が走っているという事実は忘れ去られています。
 4月に模試を受けて偏差値50だった人間が、その後まったく勉強しない状態で10月にまた模試を受けた場合、偏差値は...続きを読む


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