重積分の問題です。 dxdy/√(x^2 +y^2) D:1<=9x^2 +y^2 <=9 の解き方

重積分の問題です。
dxdy/√(x^2 +y^2) D:1<=9x^2 +y^2 <=9
の解き方がわかりません。やり方を教えてください。
x=(rcosθ)/3 , y=rsinθで極座標変換を用いると考えていたのですがうまくいきませんでした。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/14 23:26

S = ∫∫ (1/√(x^2 +y^2)) dxdy,

　　　　積分範囲は D={(x,y)｜1≦9x^2 +y^2 ≦9}
という積分ですかね。
　　S = 4∫∫ (1/√(x^2 +y^2)) dxdy,
　　　　積分範囲は D'={(x,y)｜x≧0 ∧ y≧0 ∧ 1≦9x^2 +y^2 ≦9}
ふつーに (x,y) = (r cosθ, r sinθ) で極座標に変換すると、
　　S = 4∫∫ drdθ
　　　　積分範囲は D'={(r,θ)｜0≦θ≦π/2 ∧ r≧0 ∧ 1≦(r^2)(9-8(sinθ)^2) ≦9}
なので
　　S = 4∫{0≦θ≦π/2} (∫{f(θ)/3 ≦r≦ f(θ)} dr) dθ
ただし
　　f(θ) = 1/√(1-(8/9)(sinθ)^2)
だから
　　S = (8/3)∫{0≦θ≦π/2} f(θ) dθ
　　　= (8/3) K((√8)/3)
ここにK(k)は第1種完全楕円積分。（かな？）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/01/15 18:03

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/01/15 12:10

う～ん

楕円積分が出てくるから問題が間違ってるんじゃろ？

この回答へのお礼

自分もそんな気はします。

お礼日時：2021/01/15 18:04