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教科書に定義が載っていませんが、高校数学的には実数の指数はどう理解しておけば良いでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 自然対数以外の底の指数関数はどう定義するのかでした。

      補足日時:2021/01/18 15:20

A 回答 (6件)

> log_a x=logx/logaでしょうか?



そ。
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> 自然対数以外の底はどう定義するのでしょうか?



底の変換公式を使って定義します。
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この回答へのお礼

log_a x=logx/logaでしょうか?

お礼日時:2021/01/19 17:12

高校の教科書に載ってる定義は、こうなってる。


1) 自然数 n に対して、数 a を n 個掛け合わせたものとして a^n を定義する。
2) 有理数 x, y に対して、指数法則 a^(x+y) = (a^x)(a^y) を満たすような a^x で
 x が自然数のときには 1) と一致するものは、a が正の実数のとき一意に定まる。
3) 有理数列 r[n] が実数 x に収束するとき a^r[n] の極限を a^x と定義すれば、
 与えられた x に対して a^x は個々の r[n] に依らず定まる。
1) 2) の部分は簡単なので、教科書でもよく解説してあるが、
3) の部分は面倒くさいし、高校で習う範囲の収束の定義では証明しきれないから
さらっとひとこと触れるだけでほぼスルーされることが多い。
大学で出てくる定義のほうがむしろ簡潔で解りやすい。
何通りかあるが、例えば
微分方程式 (d/dx)f(x) = f(x), f(0) = 1 の解を f(x) = e^x と書く」とか、
積分で定義される g(x) = ∫[1,x](1/t)dt の逆関数を e^x と書く」とか、
e^x = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k と定義する」とか。
特に3つめのは、高校生にも親しみ易いような気がする。
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この回答へのお礼

自然対数以外の底はどう定義するのでしょうか?

お礼日時:2021/01/17 20:06

a:0以上の実数、x:実数、とするとき、a^x の定義のことでしょうか。


それなら、指数関数 y=a^x のグラフを習うことになっているので、そのxに対応するyの値、ということではないでしょうか。

それでも、気になるなら、次のように考えればいいでしょう。xを小数で書いて、小数点以下n桁で打ち切った値x[n]は有理数だからa^x[n]が定義できます。nをどんどん大きくすればa^x[n]の値も小数点以下どんどんきまっていきます。よって、√2やπが小数展開できるのと同様の意味で、a^xも小数展開でき、だから実数の値が1つきまるといえるでしょう。
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指数を習う時に定義を習っているはずです。

ひょっとしたら中学で習うから高校の数学では省いていたのでは?


指数の元々の定義は例えば

2^5=2×2×2×2×2

となります。少なくとも私はこう習った記憶があります。
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指数の定義なんてあるの?


簡便さの発想では。
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