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数学の問題において、問題文から答えをみちびきますが、

その時、ほとんどの問題で
逆の論理展開は成り立ちますか?

答えが与えられて、問題文の内容になるように証明するなど。(問題文の内容は提示されているものとする)

質問者からの補足コメント

  • 分かりにくかったらすいません。
    要は解答例があって、逆に進んだとしても数学的に正しいのか知りたいです。

      補足日時:2021/01/18 09:07
  • ほとんどの

    とは物理や化学では、厳密解は多くの場合で得られないため全てという表現を控えています。

    数学では厳密に全ての場合で、解答例を逆に進めることが可能でしょうか?

      補足日時:2021/01/18 10:04

A 回答 (5件)

> 要は解答例があって、逆に進んだとしても数学的に正しいのか知りたいです。



 まず、「解答例」の書き方をどうするか。「解答」とは数学においては証明に他ならない。(「問題:P(x)を求む」に対して「答: x=1」が解答になるためには「P(1)が真であることの証明」が書けていなくちゃいけない。)そして、厳密な証明とは「命題の列が推論規則に従って並んでいる」という形をしたもの(記号列)のことです。そうなっていないのは、単に間違っているか、あるいは、省略して書いている。省略しない形に書き直すことができて初めて、厳密な証明になっていると言える。(このあたり[ヒルベルトの形式主義数学]は、数学基礎論、述語論理、あるいは不完全性定理などの教科書を勉強なさると、詳しく知ることができます。)
 次に「逆に進」むとは、(一文字ずつ逆順に読む、というんじゃなしに)「命題の列が推論規則に従って並んでいる」という列Sを、逆順に並べ直したものRを指すことにします。

 これでようやく、ご質問の意味がはっきりしたでしょう。すなわち
  「Sが証明であるとき、Rは常に証明か」
をお尋ねなのです。

 で、答えは「NO」です。Rが証明になっていることもあるけれども、そうでないこともある。なぜなら、推論規則の中に、
 「A かつ B である」から「Bである」を推論する
という規則があるからです。これを逆に使って、
 「Bである」から「A かつ B である」を推論する
というのは明らかな誤りですね。(他にも逆には使えない規則があります。)
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この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございます

逆はある特定の場合は成り立つが、全ての場合では成り立たないのですね。

お礼日時:2021/01/18 14:14

x = 1 であれば x^2 = 1 が成り立つ。


x = -1 の場合にも x^2 = 1 が成り立つ。
x^2 = 1 から逆にたどろうとすると分岐があり、
もともと x = 1 だったのか x = -1 だったのかを知る方法はありません。
逆に進めることは可能でない場合が多々あります。
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論理的な質問をしようとしているのに


「ほとんどの問題で」
などという表現をしている時点で、質問が成立していません。

「ほとんど」では成立しない、「一部だけ」だ、という答で満足しますか?

前の質問の回答にも書きましたが、
「x = -5 のとき、x^2 を求めよ」
という問題の答が「x^2 = 25」になるからといって
「x^2 = 25 のとき、x を求めよ」
の答は「x = ± 5」であって「x = -5」ではありません。

そのときのコメントで、あなたは「x = -5 が求まるのだから、逆は成り立っている」みたいなことを書いていましたね。
「数学的」「論理的」には正しくありませんよ?

もっと極端な例を書けば
「a = 1, b = 3 のとき a + b を求めよ」
という問題の答は「a + b = 4」ですが
「a + b = 4 のとき、a, b を求めよ」
の答は「不定」です。
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この回答へのお礼

今回の質問と

過去の投稿内容とは異なります。

お礼日時:2021/01/18 09:59

「2+3」は「5」ですが、「5」になる計算式は無限大です。


二つの関数が与えられて、交わる点の数は決まっていますが、交わる点の数が与えられていても、それに該当する二つの関数は無限大です。

逆に進んでも問題のみにたどり着かない可能性があります。
数ある正解のうちの一つではありますが。
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この回答へのお礼

解答例が既にあってそれを逆さに辿ることは矛盾していないということで合ってますよね。

お礼日時:2021/01/18 09:51

通常は答えから問題を作ると思いますから、逆に進むことはできます。


そうしないととんでもない数字になってしまったり、習ってない範囲を使う可能性があるからです。

例えば、マイナス、平方根や、虚数などを習ってないときにそのような答えが出ないように問題を作らなければなりません。

ただし同じ問題から答えは一つしか出せないと思いますが、同じ答えから問題は複数できます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり逆に進んだとしても数学的には問題ないのですね。

お礼日時:2021/01/18 09:53

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