以下の問題の微分方法を教えてください

X＝ｘ/x^2+y^2 のときⅩを微分すると
dX/dx=(x^2+y^2-x(2x-y))/(x^2+y^2)^2
になるようなのですが、分子の(2x-y)の導き方がわかりません。
基本的なことで申し訳ありません。

質問者からの補足コメント

• すみません。
  X = ｘ/(x^2+y^2)です。

    補足日時：2021/01/18 13:48

• 回答ありがとうございます。
  Y=（-ｙ）/(x^2+y^2)とおかれていました。
  すみません。必要だと思いませんでした。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/01/18 13:55

• 

  元々の問題は
  「複素数平面上で、点ｚが２点6+２i,-2+6iを結んでできる線分上を動く。ただし、iは虚数単位とする。
  ｗ＝1/zとすると、絶対値ｗが最大となる点ｗは、ｗ＝～であり、ｗが描く曲線の長さは～πである。」
  という問題です。
  点ｚが動く直線がｙ＝(-1/2)x+5なので、このｙをｘで微分したもの-1/2を、dy/dxの部分に代入し分子の微分は2ｘ-ｙとなったという理解で合っていますか。

    補足日時：2021/01/18 14:49

• 

  度々申し訳ありません。
  ご指摘のように解いてみたら、解説より簡単に解けました。
  ありがとうございます。
  ただ、そうするとｗが描く曲線の長さはどうやって出せばいいのでしょうか。
  解説では
  X＝ｘ/(x^2+y^2),Y=-y/(x^2+y^2)と置いて、それぞれ微分して-2から6まで積分して出していました。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/01/18 18:05

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 21:38

No.4へのコメントについて。

> ｗが描く曲線の長さ

　 1/z = z*/(zz*) = z*/(|z|^2) （z*はzの共役複素数）
言い換えれば、1/zってのは、z*と偏角が同じ
　　arg(1/z) = arg(z*)
で、大きさは
　　|1/z| = 1/|z|
である。なので、（射影幾何学の用語を使うと）1/zは「(単位円に対する)z*の反転」になっています。

　ここで、直線Lの実軸に対する鏡像を直線L*とすると、zが直線L上を動けばその共役複素数z*も直線L*上を動く。

　さて一般に、(単位円に対する)直線の反転は原点を通る円Cです。しかも、直線L上の点zについて|z|が最小になる点をZとし（従って、直線L*上の点z* について|z*|が最小になる点はZ*です）、円C上の点wについて|w|が最大になる点をWとすると、Wは(単位円に対する)Z*の反転になっています。さらに（円Cは原点を通るから）円Cの直径は|W|であり、円Cの中心はW/2です。

　なので、両端がz[0]とz[1]である線分
　　z = z[0]t + z[1]t (0≦t≦1)
に対して、w = 1/zは（円Cの一部分である）円弧を描くことになり、その両端は
　　w[0] = 1/z[0]
　　w[1] = 1/z[1]
だから、「wの描く曲線の長さ」は「(w[0]-W/2)と(w[1]-W/2)がなす角度」×「円Cの半径(W/2)」です。（このためにまずWを計算したのでしょうね。）

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 16:39

No.2です。

> 元々の問題は

　なるほど。で、
　　z = x + iy
　　w = 1/z
としたのならば、XとかYとかの出番はないでしょう。単に
　　|w|^2 = 1/(|z|^2) = 1/ (x^2 + y^2)
です。

　　y = 5 - x/2 …(1)
から
　　dy/dx = -1/2
なので
　　(d/dx)|w|^2 = -(2x + 2y(-1/2))/ (x^2 + y^2) = 0
である。これと (1)を連立して解いて、|w|が極値をとるx,yが決まる。

　また、No.3のご指摘の通りに(1)を最初っから代入すると
　　|w|^2 = 1/ (x^2 + (5 - x/2)^2)
ですから
　　(d/dx)|w|^2 = -(2x - (5 - x/2))/ (x^2 + (5 - x/2)^2) = 0
を解いてxが決まり、(1)からyが出る。ま、似たようなもんです。

　ところで、この「 |w|が極大になるw」をWとすると、複素平面上では (1)の直線は0とWを直径とする円に写りますね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/18 14:53

「微分すると」という端折った物言いも問題かなあ。

何がしたいのかが伝わってないような気がする。

「x で」「偏微分する」ならば、単純に商の微分公式を使って
∂X/∂x = { 1(x^2+y^2) - x(2x) }/(x^2+y^2)^2
　　　　= (y^2 - x^2)/(x^2 + y^2)^2.

「x で」「常微分する」ならば、
dX/dx = { 1(x^2+y^2) - x(2x + 2y(dy/dx)) }/(x^2+y^2)^2.

これが質問文中の式と一致するのは No.2 のような場合だが、
y = C - (1/2)x こんな簡潔な関係が x,y の間にあるのなら
最初からこれを代入してから微分したほうが簡単だろう。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 13:59

No1。

計算間違いです。訂正。
　　dX/dx =((x^2+y^2) - x (2x +2y(dy/dx)) / ((x^2+y^2)^2)
でした。
　なので、書かれていない条件とは
　　dy/dx = -1/2（すなわち y= C - x/2）
です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 13:39

X = ｘ/(x^2+y^2)

というおつもりですかね。
　　X = p/q
なら
　　dX/dx =(q (dp/dx) - p (dq/dx)) / (q^2)
ですから、p=x, q=(x^2+y^2)を代入すれば分かる通り、
　　dX/dx =((x^2+y^2) - x (2x +2(dy/dx)) / ((x^2+y^2)^2)
となります。

　さて、これが
　　dX/dx=(x^2+y^2-x(2x-y))/(x^2+y^2)^2
になるというんですから、ご質問には書かれていない条件
　　dy/dx = -y/2 （つまり y = A e^(-x/2) )
があるのでしょう。