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離散数学の問題なのですが、どうしてもこの証明が分かりません… どなたか教えていただけないでしょうか？

締切済

質問者：冪乗
質問日時：2021/01/20 08:59
回答数：3件

離散数学の問題なのですが、どうしてもこの証明が分かりません…
どなたか教えていただけないでしょうか？…
宜しくお願い致します。

A, B, C を集合とし，f : A → B, g: B → C, h: B → C とする.f が A から B への全射であり，　
g ◦ f = h ◦ f ならば，g = h が成り立つことを証明せよ.

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回答 (3件)

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No.3

回答者：ありものがたり
回答日時：2021/01/20 18:09

写像 F と G が一致する（Ｆ=G) とは、

定義域中の任意の x について F(x) = G(x) が成り立つことです。
よって、g ◦ f = h ◦ f とは ∀x∈A, g ◦ f(x) = h ◦ f(x) を意味します。　←[1]
f が前者であるとは、B の任意の元 b に対して f(a) = b となるような
A の元 a が存在することです。
以上より、 B の任意の元 b に対して f(a) = b となる a が存在し、
(a は b に対して一意とは限らないが、少なくとも１つは存在し、)
[1] に x = a を代入すれば g(b) = h(b) です。
これが B の任意の元 b について成立するのだから、 f = g と言えます。