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離散数学の問題なのですが、どうしてもこの証明が分かりません…
どなたか教えていただけないでしょうか?…
宜しくお願い致します。

A, B, C を集合とし,f : A → B, g: B → C, h: B → C とする.f が A から B への 全射であり, 
g ◦ f = h ◦ f ならば,g = h が成り立つことを証明せよ.

A 回答 (3件)

写像 F と G が一致する(F=G) とは、


定義域中の任意の x について F(x) = G(x) が成り立つことです。
よって、g ◦ f = h ◦ f とは ∀x∈A, g ◦ f(x) = h ◦ f(x) を意味します。 ←[1]
f が前者であるとは、B の任意の元 b に対して f(a) = b となるような
A の元 a が存在することです。
以上より、 B の任意の元 b に対して f(a) = b となる a が存在し、
(a は b に対して一意とは限らないが、少なくとも1つは存在し、)
[1] に x = a を代入すれば g(b) = h(b) です。
これが B の任意の元 b について成立するのだから、 f = g と言えます。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
非常に参考になりました。
頭ではわかっててもそれを文字で表現するのがどうしても出来なかったので、大変ありがたいです。
m(_ _)m

お礼日時:2021/01/20 18:51

「全射」がどういう意味なのかさえ知ってれば自明だけどなあ。

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g ≠ h から g ◦ f ≠ h ◦ f を導いたらいかが?

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この回答へのお礼

なるほど…
参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2021/01/20 16:45

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