対称行列 ［2 1 1］ ［1 2 −1］ ［1 −1 0］ で固有値がλ＝3,2,−1 と出たので

対称行列
［2 1 1］
［1 2 −1］
［1 −1 0］
で固有値がλ＝3,2,−1
と出たのですがそこから直交行列Pを使ってAを対角化するのと、nを自然数とするときのA^nを求める問題を教えてほしいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/23 20:46

やり方：

問題の行列を A として、λ = 3,2,-1 のそれぞれについて
一次方程式 (A-λE)v = 0 を解く。
各 λ について v は一次元の解となる。
P を直交行列にしたいとのことだから、長さ 1 の解をとって
固有値と固有ベクトルの組を (λ_k, v_k), k=1,2,3 と置く。
A が実対角行列なので、各 v_k は互いに直交する。
λ_k を対角成分に並べた対角行列を D,
v_k を第 k 列に並べた行列を P と置くと、
A v_k = λ_k v_k より AP = PD が成り立つから、
D = (P^-1)AP である。
P が直交行列なので、逆行列の計算は P^-1 = P^T で済む。
以上が対角化。

A = PD(P^-1) なので、
A^n = { PD(P^-1) }{ PD(P^-1) }{ PD(P^-1) }…{ PD(P^-1) }
　　= P D { (P^-1)P } D { (P^-1)P } D … D (P^-1)
　　= P D E D E D … D (P^-1)
　　= P D^n (P^-1)
　　= P D^n (P^T).
D^n の計算は、各対角成分を (λ_k)^n にするだけでよい。

やり方は、上記のとおり。
作業は御自分でどうぞ。