線形代数について

線形代数の証明問題2問について理解できません。
回答よろしくお願いします。
f;R^3→R^3
dim kerf=1 → dim Imf =2
を証明せよ。

A:P ∈Mx(R) P; 正則
B=P^-1AP
|λE-A|=|λE-B| を示せ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/26 22:39

前半：

「次元定理」を検索検索ぅ〜

後半：
λE - B =λ((P^-1)EP) - ((P^-1)AP)
　　　= (P^-1)(λE - A)P.
P は正則だから、
det(λE - B) = det(λE - A).

No.1 回答者： Ichiesgrandchildren 回答日時： 2021/01/26 17:18

次の定理を使う。

Tを線型空間VからV'への線型写像とすると、
dim V=dim ker T+dim T(V).
（証明は例えば、線型代数入門（斎藤正彦）p109)
これを使えば、
3= dim kerf+dim Im(f)
3=1+dim Imf
∴　dim Imf=2.

|λE-B|=|λE-P^(-1)AP|=|λP^(-1)P-P^(-1)AP|
=|P^(-1)||λP-AP|
=|P^(-1)||λE-A||P|
=|P^(-1)||P||λE-A|
=|P^(-1)P||λE-A|
=|E||λE-A|
=|λE-A|.