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このSを正射影した面積がScosθとなるという部分は覚えるしかないんですか?
証明は可能でしょうか

「このSを正射影した面積がScosθとなる」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 回答よろしくお願いします

      補足日時:2021/02/01 13:01
教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

面積というのは、1辺が1の正方形の面積を1として、その正方形が幾つ入るか、と言う事です。


n個入ったら面積n。

図で、円の代わりに1辺が1の正方形だったら、横が1で縦がcosθだから面積がcosθになる訳です。
つまり正方形の面積は1/cosθ

面積Sの任意の図形に入る正方形の個数がS/(1/cosθ)倍になる訳。
だからS/(1/cosθ)=Scosθ
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/02/01 14:41

時間ができたので再投稿しておきます



面積に限らず 物理での正射影は頻出ですので覚えるのもありです
で、正射影は「内積」に絡んでくることも理解しておくべきです

参考例
質量mの物体を数直線上で移動させる場合の仕事について(初めの位置は原点とする)
数直線の正の方向と物体に加える力(→F)のなす角をθとする
(ということはθ=0なら 力と数直線の正方向は完全一致
θ=90なら力は数直線とは直交
θ=180ならFは数直線の負の向きということです)
で、物理らしく物体の変位もベクトルで表しておきます
変位を表す位置ベクトルを(→x) 
ただし位置ベクトルの基準は数直線の原点
このようにしておくと
→Fの数直線方向への成分が
|→F|cosθですので
仕事W=移動方向への力x移動距離
=|→F|cosθ|→x|
=|→F||→x|cosθ
=(→F)・(→x) ・・・内積
となります
この場合、実際に図を書いてFなどのベクトルを書き込んでもらえばわかりますが
図の上では→Fの矢印に真上から光をあてて、その影が数直線に移ったものが
→Fの水平成分ということですが
この影の計算が|→F|cosθというわけで 
この影のことを正射影とよんでいるわけです
で、求めるべき仕事はFの正射影と変位の積となり
これは2つのベクトルの内積に等しいというわけです
「ポイント 影(正射影)を数直線上に映し出して、必要な成分を取り出す!
それは内積とからめて計算されることが多い」

面積でも同じこと
ただし、形がいびつだと分かりにくいんで
D面上の該当部分を微小正方形に分割して
1個の微小正方形の正射影を考えます
微小正方形の1辺をOA 他の一辺をOBとすると
(ただし、分かりやすくするために図で文字θを挟む2辺を基準に考えます
θを挟む2辺のうち面Dにある方の辺とOAとは平行
OBは垂直
ということにします)
微小正方形の面積ds=OA・OB
(→OA)のC面への正射影は
|→OA|cosθ=OAcosθ
(内積利用なら C面上での→OAの射影と同じ向きの単位ベクトル→eを用いて
(→OA)・(→e)
=|→OA||→e|cosθ
=OA・1・cosθ
=OAcosθ)
もう一つのOBの射影はθの値に関係なく
|→OB|のままでCにその影が映るので
→OBのCへの正射影は|→OB|
このことから、微小正方形のC面への正射影は
その面積dtが
dt=|→OA|cosθ|→OB|
=OA・OB・cosθ
(=(→OA)・(→OB))
=dscosθ

この微小正方形の正射影を個別に考えて
すべてを合計したものの面積が正射影の面積なんで
直感を持って
T=Scosθ
となることが分かるはずです(ただしTは正射影の合計面積)

また、これを正確に検証したいなら積分をすればよいです
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この回答へのお礼

物理の仕事も、正射影なんですね

お礼日時:2021/02/01 14:41

ごめん 途中で投稿してしまいした


完成版をもう一度投稿しますので
少々お待ちください。
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面積に限らず 物理での正射影は頻出ですので覚えるのもありです


で、正射影は「内積」であることを理解しておくべきです(正射影なら内積は大学で物理を少しかじったことのある人には常識です)

参考例
質量mの物体を数直線上で移動させる
数直線の正の方向と物体に加える力(→F)のなす角をθとする
(ということはθ=0なら 力と数直線の正方向は完全一致
θ=90なら力は数直線とは直交
θ=180ならFは数直線の負の向きということです)
で、物理らしく変位もベクトルで表しておきます
変位:仕事 ベクトル表示
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D上の画像を C に垂直に 写すのですから、


D:C を比の値で書くと C/D=cosθ → C=Dcosθ 。
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