面積 S の円を描くとき、S の相対誤差を 1 %以下にするためには、半径 r の相対誤差をおよそ何%以下にする必要があるか?
という問題で
ある解説書によると

>半径をrとすると円の面積はπr^2となる。相対誤差とは真の値と絶対誤差との
>比のこと。半径の誤差λrとすると、相対誤差はλS/Sで表されて、
>
>λS/S=π(r+λr)^2-πr^2/πr^2
>
>となる。この問題では相対誤差は1%以下なので
>
>π(r+λr)^2-πr^2/πr^2≦0.01
>という式が成り立つ。この式を解くと
>
>2λr/r≦0.01
>λr/r≦0.05
>となる

と解説してあったのですが
π(r+λr)^2-πr^2/πr^2≦0.01を解いて
2λr/r≦0.01になる仕組みが分かりません。
λ(2+λ)≦0.01になってしまうのですが…
どなたかお分かりになる方、お教え頂けないでしょうか?
ちなみに^2は2乗という意味で使っています。

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円の面積」に関するQ&A: 欠円の面積

A 回答 (2件)

私も最初、「λ(2+λ)≦0.01」になるとおもったのですが、


これは大きな誤りですね。
なぜなら、誤差「λr」は「λ×r」ではなく、一つの変数だからです。

つまり、上式の左辺は、
(π(r+λr)^2-πr^2)/πr^2
=(2r*λr+(λr)^2)/r^2
のようになると思います。
ここで、「(λr)^2/r^2」は充分小さな値として、
無視されているのではないでしょうか?

即ち、上式は、
=2r*λr/r^2=2λr/r
となります。
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この回答へのお礼

さっそく回答ありがとうございます。
λrは変数なんですね。
確かにそう考えれば納得できます。
てっきり「λ×r」だと勘違いして考えてました。
本当にありがとうございます。

お礼日時:2001/08/21 13:23

まず1点注意。

λrはひとつの数(λとrの積ではない)です。λr/rは約せません。
{π(r+λr)^2-πr^2}/(πr^2)=2λr/r-(λr/r)^2
ですが、(λr/r)^2は大変小さいので0とみて
2λr/r≦0.01
としています。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
正直λrはλとrの積だと思ってました。
本当にありがとうございます。

お礼日時:2001/08/21 13:25

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Qniceの反対語

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状況によって
・bad
・unpleasant
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Qr^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)についての問題

検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。

r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
    = -1/√sin2θ
    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

x = rcosθ、y = rsinθ とおき、
dx/dθ = -rsinθ
dy/dθ = rcosθ

よって
dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ




と、ここでつまってしまいました。。。
(1)、(2)も自信がありません…。


どなたかわかる人がいましたら、
ご教授いただけると非情に助かります。

よろしく御願いします。

検索をさせていただいたのですが、なかなか
似たような問題が出てこなかったので質問させていただきます。
大学院の問題なのですが、いまいちわかりません…。

r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
    = -1/√sin2θ
    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,...続きを読む

Aベストアンサー

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ結果が合っていても
(2)は零点になりますね。

>dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
>    = -1/√sin2θ
↑の(1)の間違った計算式からは
dr/dθ =0 となるθは存在しません。
ここで計算間違いに気が付かないといけませんね。

sin(2θ)=0→θ=0→ r(0)=√1=1

> (3)直行座標(x,y)
また誤字です。
「直交座標」のミス。

r^2=cos(2θ)=1-2(sinθ)^2
r^2=1-2(y/r)^2
x^2 +y^2=1-{2y^2/(x^2+y^2)}
(x^2+y^2)^2=x^2+y^2-2y^2
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2…(A)
xで微分
2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'
y'=-(x/y){x^2+y^2-(1/2)}/{x^2+y^2+(1/2)}
y'=0の時 x^2+y^2=(1/2)…(B) ←なぜx=0が排除されるか考えて下さい。
(A)に代入
x^2-y^2=1/4
x=±√6/4,y=±√2/4…(C)
r≧0,-π/4≦θ≦π/4から
r=√(x^2+y^2)=√2/2
cosθ=x/r=√3/2
∴θ=±π/6
r^2=cos(2θ)より
θ=±π/6→r(±π/6)=(√2)/2

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ...続きを読む

Q恐怖の反対語って何ですか?

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Q1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇔0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1?

aはa≧5をみたす定数として、
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1と
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1
は同値でしょうか?
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も真なので同値だと思うのですが。

Aベストアンサー

前半)
> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

後半も
>> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

Q反対語を教えてください

1. 「すでに」の反対語は?


2. 「整然」の反対語は?


教えてください

Aベストアンサー

>1番のすでにの反対語ですが、「いずれ」「さきに」の二択の場合は
>どちらでしょうか・・・・・?

時間軸で考えると分かり易いと思います。
”すでに”は、始まっているということなので今よりも前のことです。

”いずれ”はこれから始まるであろうことで今より先のことです。(起こる起こらないは別の話ですが)
”先に”は今の時点からすると先に始まっていることなので、正解は”いずれ”になります。

 今回はソシーラス使ってませんよ、エライエライ(自分で自分を誉めてます)

Q3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1におけ

3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1における最大値を求めたい。
まず、yはx=(ア)のときに極大値(イ)をとり、x=(ウ)のとき極小値(エ)をとり、さらに(ア)以外にy=(イ)となるようなxの値はx=(オ)である。
そこで、求める最大値をaの関数と考えてM(a)で表すと次のようになる。
a≧(カ)のとき M(a)=(キ)
(カ)>a≧(ク)のとき M(a)=(ケ)
(ク)>a>0のとき M(a)=(コ)

という問題なんですが、(ア)~(オ)までは分かったんですが、
場合わけする部分がどうすれば解答にたどり着くか分かりません。
分かる方解説よろしくお願いします。

解答
(ア)a/3(イ)(4a^3)/27(ウ)a(エ)0(オ)4a/3
(カ)3(キ)a^2-2a+1(ク)3/4(ケ)(4a^3)/27(コ)a^2-2a+1

Aベストアンサー

dy/dx=3x^2-4ax+a^2
     =(3x-a)(x-a)
     =0
とおくとx=a/3、a
ですから、極大値はx=a/3のとき、極小値はx=aのときですね。ここで、この関数のグラフを書いてみましょう。原点を通り、x>0の領域で極大および極小値を持ちます。
 問題になるのは0<=x<=1の領域ですから、x=1の直線がこのグラフとどういう位置関係にあるかで最大値が変わってきますよね?
 例えばa/3>=1であればx=1の時が最大値、a/3<1<=aであればx=a/3のときが最大値というように。
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>再開の反対語は?

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【数学】半径×半径×πで面積。直径×πで円周。

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参考URL:http://www.rhymezone.com/r/rhyme.cgi?

Qcos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π) 。簡単な方法で。

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cos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π)
を出来るだけ簡単な方法で解いてください。
答えは3/2です。

前回読みにくい質問文でしたのにお答えいただきましたspring135さまありがとうございました。前回も大変助かりました。

Aベストアンサー

(cos(a))^2=(1/2)+(1/2)cos(2a)
Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する
点のx座標の和なので 0

(cos(x+π/3)^2+(cos(x+2π/3))^2+(cos(x+π))^2
=(3/2)+(1/2){cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)}=3/2


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