在宅ワークのリアルをベテランとビギナーにインタビュー>>

再度投稿(><)
以下の証明で使われている、積分と内積の関係(?)みたいなものを高校生でも分かるように教えてください!


V=∫Edxにおいて
V=0より
E・dx=0の必要があるので
|E||dx|cosθ=0
よってθ=90°

質問者からの補足コメント

  • 先程、回答して下さった方ありがとうございました。
    見ようとしたら質問が削除されてしまっていたので再度投稿させていただきます(><)
    (なぜ削除されてしまったのか…)

      補足日時:2021/02/05 15:31
gooドクター

A 回答 (8件)

(ベクトルには→を付したので、その有無でベクトルなのかそうでないのかよく見極めて読んでみてください)



①私が書いた「∫Edx」のE,xはスカラーではなくてベクトルで、∫(→E)(d→x)とかける。
>>>
どちらも可能です
まあ、一般的な物理学や電磁気学の本なら後者のベクトル形式で書かれているのが普通だと思います
(私の持っている電磁気学の本を、今久しぶりに開いてみると
xの代わりに経路(Line)の頭文字を取ってlが使われていて
太文字Eと太文字lを用いて、ベクトルであることをはっきりさせて
V=-∫[A~B](太字E)・(d(太字l)と書かています。
あなたも本などの断り書きにベクトルはどのように表示するとか書かれているはずですから、そこを注意深く探しだして読んで「∫Edx」と書かれた意味の把握をしてみてください
ちなみにA,Bは2点A,Bという意味で、マイナスは向きが関係していますが
ここに触れるとあなたがキャパオーバーになるでしょうから今回は割愛)
Eがベクトル表示でないなら、Eは電界のx方向線分で∫Edxはその積分という事です
(内積には、正射影の積、
すなわち→Eのx成分を抽出して、→Eのx成分と変位xの大きさをとを掛け算という意味があります。
だから、仮に電荷+1Cをx軸に沿って運ぶなら
「∫Edx」と∫(→E)(d→x)とでは見かけは違っても意味は同じということになります)

②このときの(→E)(d→x)は外積ではなくて、内積である。
多くの場合
内積は(→E)・(d→x)
外積は(→E)x(d→x)
というように「・」と「x」の記号で区別して表します(別のタイプの表記もありますが・・・)
で、あなたの持っている原本を見て内積表示なのかどうか判断すればよいのですが
理系の人が必ず押さえておかないといけないことは
内積の結果はスカラーとなり
外積の結果はベクトルになるという事です
つまり、(→E)・(d→x)は大きさだけを持つ物理量を表している
これに対して、(→E)x(d→x)は大きさと向きを持つ物理量を表します
で今回は、電荷を運ぶ経路を細かく分けて、
各区間で仕事(仕事はスカラー量)を算出して最後に合計しようとしているので、内積を使って各区間のスカラ量を出そうとしているということがなんとなくでも分かるはずです
(ちなみに、電荷を運ぶ経路にそった積分のように
曲線に沿った積分のことを線積分と言います。時間があれば、このキーワードで研究してみると良いでしょう)




③∫(→E)・(d→x)=(→E)(Δ→x1)+(→E)(Δ→x2)+・・・=0で、これが成立するには全ての項が0になる必要があるので、一般項?(→E)(d→x)が=0となればいい。
という理解で合ってますか…?
>>>貴方の質問が断片的なんで昨日は一部類推で回答しましたよ
正確なところは、文章全体を読んでないんで不明ですが
電場が各点でバラバラなら、(→E)は位置によってその向きも大きさも異なるということになります
よってx軸に沿った経路だとして
微小な分割区間の一番目(Δx1)での(→E)のx成分をE1などとすると
(→E)・(Δ→x1)+(→E)・(Δ→x2)+・・・=0

(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)・・・=0
と同じ意味です
この条件のみで
(E1)(Δx1)=(E2)(Δx2)=(E3)(Δx3)・・・=0
とは言い切れないというのはいいですか?
(E1)(Δx1)、(E2)(Δx2)、(E3)(Δx3)・・・がトータルで0になるケースは
(E1)(Δx1)=(E2)(Δx2)=(E3)(Δx3)・・・=0に限らないからです
でももし、話の内容が
一様な電場になっている⇔どの点でも電場が同じ向きで大きさも等しい
ということなら E1=E2=E3=・・・です
この電場を統一してE1=E2=・・・=Eとおけば
(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)
=(E)(Δx1)+(E)(Δx2)+(E)(Δx3)・・・=0であるためには
各項が示す向きが一様なんで(各項の符号が異なってはいないので)
各項が0でないといけませんよね
つまり、電場が一様という条件が加われば
(E1)(Δx1)=(E2)(Δx2)=(E3)(Δx3)・・・=0
つまり
(→E)・(Δ→x1)=(→E)・(Δ→x2)+・・・=0
であるという事ですよ!
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この回答へのお礼

なるほど!!!
②内積がスカラー量、仕事もスカラー量だから、内積ということなんですね
③一様な電場で、各項の符号が同じだから全て0になる必要あること、とてもしっくりしました

私が分からないのは数学分野だと思っていたのでだいぶ断片的な質問をしてしまいましたが、一般的に言えることではなくてこの問題に限ることばかりだったのですね…
類推して回答して下さってありがとうございます(><)

お礼日時:2021/02/06 13:40

この質問は、


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12188747.html
で解決したのかなあ.と思います。
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この回答へのお礼

私もそう思ってその質問をしたのですが、
E=0でなくE・dx=0だったので改めて質問させていただきました(><)

お礼日時:2021/02/06 13:43

反例


x=(t, 0,0)、E=(t、0、0)→なす角θ=0°
∫[t=-1~1]Edx=0
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> V=∫Edxにおいて


> V=0より
> E・dx=0の必要があるので

ダウト。
∫ して 0 になればいいので、
各点で皆 E・dx = 0 である必要はない。
プラス部分とマイナス部分が相殺するだけでいい。
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この回答へのお礼

証明に書かれていたのが「E=0である必要があるので」なら、その質問で解決したのですが、「E・dx=0である必要があるので」だったので・・・

です。
言葉足らずで申し訳ございません(><)

お礼日時:2021/02/06 13:46

で、ごめんなさい


今日は時間切れですんで
必要があれば明日以降補足します
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#1終盤も訂正です


ちなみに高校では矢印を用いてベクトルを表記しますが
一般にはこれ以外の表記があり
書籍などでは ベクトルを 太文字で表示しているケースも多いです





これは電場のx成分 変位のx成分を考えた結果です
一般に拡張して
電場のx成分だけでなく、y成分(空間ならz成分)も考えるようにします
そうするとベクトルで考えるのが適切です
そこで Eを→Eに変えます
同様に 変位もx成分だけから拡張します
このときはxは位置ベクトル→xに変わります
で、→Eと→xの内積を考えると
(→E)・(d→x)=|→E||d→x|cosθ
={|→E|cosθ}|d→x|
ですがθとは→Eと→xのなす角度です
よって|→E|cosθは→Eのx成分という意味です
ゆえに
(→E)・(d→x)=|→E||d→x|cosθ
={|→E|cosθ}|d→x|
=EΔxi
ですが、V=0ならEΔxi=0でしたから
(→E)・(d→x)=|→E||d→x|cosθ=0で
|→E|≠0
|d→x|≠0
cosθ=0⇔θ=90°です
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#1途中をすこし訂正


E≠0は余分でした





ただし電場が一様なら話は別です
各点とも電場:E(x)=Eで一様ですから
(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)
=(E)(Δx1)+(E)(Δx2)+(E)(Δx3)・・・=0
このようになるためにはiを自然数として
EΔx1=EΔx2=EΔx3=・・・=EΔxi=・・・=0
でないといけません
すなわち点電荷をx方向へ微小変位させても仕事は0ということになるんです
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なぜって 画像を無断でのせちゃまずでしょ・・・


また、きのうの質問で貴方の平行金属板についての電気力線の解釈は間違いですよ・・・
あらためて 質問スレ立ててくれれば解説します(明日以降)

本題
まあ、高校生という事なんで複雑化させないようにxy平面で考えます
(あまり厳密になり過ぎないようにもしておきます)
xy平面に電場があり任意の点ではその電場がE(x)だとする(・・・xの関数になっていて各点のx座標によって電場が決まる。つまりは点ごとにEが異なるとしましょう)
この平面上のA点からB点まで電荷+1Cを運ぶことを考えます
Eは単位[N/C]を見て分かる通り電荷1Cに働く静電気力という意味があります(別解釈も存在しますが・・・)
で、任意の点でE(x)が異なるんでAからBへ点電荷を移動するときの静電気力も定まりません
けれども、x方向への微小な移動:dxであれば
極めて近い場所ならEの変化はないという考え方を利用して
任意の点Cと極めて近い点隣接点C'はともにE(x)は等しいとして
この2点間を移動する点電荷:+1[C]の仕事を考えます
+1CがCC'を移動するとき電場からされる仕事=力x変位
=+1Cが受ける静電気力x微小変位
=E(x)dx
これがEdxの意味です
で、A地点からB地点への移動でも同じようにその移動経路を極めて細かく分割して考えているのです
ただしd(x)を考慮して、簡単のためにA地点とB地点のy座標は等しいものとします
つまりxy平面で水平な2地点ABの間を電荷が移動する場面を考えるのです
このとき、A地点のすぐ隣の点をA'(その距離は極めて微小)
その隣をA"そのとなりをA'''とすると
AA’間ではE(x)が一定値E1とみなして
その仕事はW1=(E1)(Δx1)です
A'A"間も同様な距離だとしてその仕事は
W2=(E2)(Δx2)
同様にして W3=(E3)(Δx3)・・・
これらを合計すればA、B間の仕事となるわけですが
和の記号「∫」を利用して
AB間を移動する+1Cがされる仕事
=W1+W2+W3+・・・
=(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)・・・
=∫Edx[J]
という事なんです
ただし、1[V]自体が、+1Cを2地点間で移動させるのに必要な電気的エネルギーが1Jという意味です
もしくは1Vは電位0V地点を基準として、別の位置にある点電荷+1C電気的なエネルギー(電気的位置エネルギー)が1Jと意味ですんで
AB間を移動する+1Cがされる仕事=AB間の電位差V
となります
このことから 電位差:Vについて
V=∫E(x)dxが成り立っているのです

V=0なら
(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)・・・=0ですが
これ以上でもこれ以下でもありません

ただし電場が一様なら話は別です
Δxは微小で0ではありません
E≠0なら
各点とも電場=Eで一様ですから
(E1)(Δx1)+(E2)(Δx2)+(E3)(Δx3)
=(E)(Δx1)+(E)(Δx2)+(E)(Δx3)・・・=0
このようになるためにはiを自然数として
EΔx1=EΔx2=EΔx3=・・・=EΔxi=・・・=0
でないといけません
すなわち点電荷をx方向へ微小変位させても仕事は0ということになるんです

これは電場のx成分 変位のx成分を考えた結果です
一般に拡張して
電場のx成分だけでなく、y成分(空間ならz成分)も考えるようにします
そうするとベクトルで考えるのが適切です
そこで Eを→Eに変えます
同様に 変位もx成分だけから拡張します
このときはxは位置ベクトル→xに変わります
で、→Eと→xの内積を考えると
(→E)・(d→x)=|E||dx|cosθ
={|E|cosθ}|dx|
ですがθとは→Eと→xのなす角度です
よってEcosθは→Eのx成分という意味です
ゆえに
(→E)・(d→x)=|E||dx|cosθ
={|E|cosθ}|dx|
=EΔxi
ですが、V=0ならEΔxi=0ですから
(→E)・(d→x)=|E||dx|cosθ=0で
cosθ=0⇔θ=90°です
すなわち一様な電界の下では、
電場の向きに対して電荷の移動する向きが90度であれば仕事が必要ない
いいかえれば 電場を垂直に横切る2地点間の電位差は0
という事が言えるのです
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この回答へのお礼

そうだったんですね!昨日はありがとうございました、また質問させていただきます(><)

なるほど、自分の手書きを写真に撮って載せたのが無断転載と間違われてしまったようです(--;)ありがとうございます

本題
なるほど!!!とても分かりやすくありがとうございます。
が…3点自信ないです
①私が書いた「∫Edx」のE,xはスカラーではなくてベクトルで、∫(→E)(d→x)とかける。
②このときの(→E)(d→x)は外積ではなくて、内積である。
③∫(→E)・(d→x)=(→E)(Δ→x1)+(→E)(Δ→x2)+・・・=0で、これが成立するには全ての項が0になる必要があるので、一般項?(→E)(d→x)が=0となればいい。

という理解で合ってますか…?

また、②の「外積ではなくて内積」というのはこの問題に関係なく、∫○dx(○,xはベクトル)で表される式全てについて言えることですか?


了解です!また明日よろしくお願いします(><)

お礼日時:2021/02/05 17:37

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