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9.9999(循環少数)-0.9999(循環少数)=9は計算可能ですか?

数字の列が無限に書けるもの同士を演算することは不可能なように思えるのですが
(終端がなく一生計算が終わらない?)

如何でしょうか?

gooドクター

A 回答 (11件中1~10件)

この辺の論争は数学屋さんが深淵な論争を続けているみたいだから


ここで論争しても無駄でしょう。

「実無限」「可能無限」で検索するのが宜しいかと。


0.999・・・=1 とするのが実無限で現在の数学の主流。

可能無限は無限のくり返しが完結すると考えることに抵抗する
考え方。無理数と有理数の定義が吹き飛んだりする
厄介な数学です。
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こんなのどないやす?


x=0.9999(循環小数)の時、
y=xで、yはx=1で連続か。
任意の数ε>0が存在して、その中からδ>0を選ぶことが出来て
0<|x-1|<δ のとき、δ=εとすると、
|y-1|=|x‐1|<δ=ε
よって、yはx=1で連続。
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>それは有理数に限る話になってしまいますね。


この質問に答えるには有理数に限った話で充分。
質問の 9.999… - 0.999 が計算可能かと言う質問であり、
9.999… も 0.999… も共に有理数であるから。
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この回答へのお礼

確かにそうですね。無理数ではやはり計算できないんですかね

お礼日時:2021/02/06 19:30

←No.1 補足



9.999… - 0.999… を桁ごとに引き算するために必要な理論と
0.999… = 1 を理解するために必要な理論は、共通だという意味です。
有理数であることよりも、収束することのほうに意味があります。
そもそも、0.999… 自体が有理数ですし。

9.999… - 0.999…
= (9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + …) - (0.9 + 0.09 + 0.009 + …)
= 9 + (0.9 - 0.9) + (0.09 - 0.09) + (0.009 - 0.009) + …
= 9 + 0 + 0 + 0 + …
= 9
という計算が正当化できるためには、2行目に登場する
9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + … と
  0.9 + 0.09 + 0.009 + … が収束していることが前提となります。
高校の教科書に出てくる lim(a[n] + b[n]) = lim a[n] + lim b[n]
というやつです。

そうでないと、
A = 1 + 2 + 3 + 4 + …,
B =   2 + 3 + 4 + …
と置いて
A - B = 1 + (2 - 2) + (3 - 3) + … = 1,
B - A = (2 - 1) + (3 - 2) + (4 - 3) + … = 1 + 1 + 1 + …
より 1 + 1 + 1 + … = -1
みたいなことが可能になってしまう。
馬鹿げてますよね?

収束と極限について既習であれば、No.1 に書いたように
9.999… = 10,
0.999… = 1 を経由してしまえば話が早いでしょう。



No.4 お礼欄に書かれた着眼点は、冴えていると思います。

本やネットにもよく書いてある
0.999…×10 - 0.999… = 9 から 0.999… = 1 を導くやり方は、
極限に関する議論を巧妙に避けているようでいて、実は
0.999… という式の意味が何であるかを確認しないままに
その式に対する計算操作を行っていて、要するに話を煙にまいただけ
という感は拭えません。

ただし、あれで納得しないならば、
極限の定義と計算をちゃんと勉強する必要が生じます。
どちらがよいかは... 相手によりけりですかね。
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なんかおかしいので訂正



【訂正前】
実際,ほとんどの実数(ルベーグ測度=0の意味)は計算可能でない(算出するアルゴリズムが無い)ですけど,

【訂正後】
実際,計算可能な実数(算出するアルゴリズムがある)は可算個しかないですけど,
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>ただ、それでは有理数に限ってしまいますよね。

今回は有理数に置き換えられるから計算可能ということですかね。

無理数もありなら,
実際,ほとんどの実数(ルベーグ測度=0の意味)は計算可能でない(算出するアルゴリズムが無い)ですけど,
質問タイトルからずいぶん離れた話になりますね
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この回答へのお礼

無理数は計算できないんですね

お礼日時:2021/02/06 19:29

ひょっとして有理数の意味を誤解されているのでは? 「有理数に置き換えられる」と言う以前に0.999…も9.999…もそのままの状態で血統書付きの有理数です。




それからこの問題に当てはまるかどうかは分かりませんが、無限回のプロセスがあるからと言って必ずしも無限の時間が必要とは限りません。早い話、A地点とB地点(どこでも結構です)の間には無限個の点が存在しますが、一方から他方に移動するために必要な時間は有限です。
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以前質問者さまの、0.9999(循環少数)は1ですか?に対して


s=0.9999(循環少数)・・・①
10s=9.9999(循環少数)・・・②
②-①=9s=9よって、
s=1
と回答したのが、気に入らなかったのでしょうか?
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この回答へのお礼

質問したことを利用してますよね

お礼日時:2021/02/06 11:47

それを不可能と言ってしまったら、分数同士の引き算はできない(場合が多い)事になってしまいます。




9.999…=10、0.999…=1

なので、単純に

10-1=9

と言う具合に計算できます。
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この回答へのお礼

ただ、それでは有理数に限ってしまいますよね。今回は有理数に置き換えられるから計算可能ということですかね。

お礼日時:2021/02/06 11:58

×循環少数


○循環小数

小数表記をして計算をしようとするとたしかに不可能(9.999…が書き終わらない)。
しかし小数表記では書き終わらないから計算不能だというのは小学生未満の考え方。概念のまま計算することが可能だから。

例えば 1/3-1/7 だって 0.333… - 0.142857… とすると不可能だが、
分数のまま計算してしまえば 4/21 とすぐに答えが出る。
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この回答へのお礼

それは有理数に限る話になってしまいますね。

お礼日時:2021/02/06 11:55

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