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1+1=2の証明を難しい記号などは一切使わず、分かりやすく簡単に説明してください

よろしくお願いします

gooドクター

A 回答 (12件中1~10件)

自然数の定義のしかたはいろいろで


ひとつの決定版があるわけではないけれど、
わりと広く受け入れられているのは
・自然数 0 がある。
・どの自然数 n にも、 n の「次の数」 n’ がある。
・0 以外の自然数 n には、 n の「前の数」、a’ = n となる a がある。
・a’ = 0 となる自然数 a はない。
・自然数 a, b について、 a’ = b’ ならば、a = b である。
・以上のルールで自然数だとされるものだけが、自然数である。
という定義です。 このルールを「ペアノの公理」といいます。
こうして定義された「自然数」に対して、足し算を
・どの自然数 a に対しても、 a + 0 = a.
・どの自然数 a, b に対しても、 a + b’ = a’ + b.
で定義するのが通常です。
1 は 0’ の略記、 2 は 1’ の略記として定義します。
以上の定義を用意すると、質問の式は
1 + 1 = 1 + 0’ = 1’ + 0 = 1’ = 2 と計算で示せます。
これが、議論がコンニャク問答にならないように
1 + 1 = 2 を証明する、たいへんよく知られた方法です。
無論、話の筋が通っていれば、これ以外の方法でもよいのですが、
これ以外となると、「1 + 1 = 2 が 2 の定義」とかの
なんちゃってな説明くらいしか見たことがありません。
記号が難しかったですか?
> それによって、回答はだいぶ違ってきます。
と書いたのは、そこんとこを気にしたからでした。
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この回答へのお礼

多くの返信ありがとうございます

この回答が一番簡単で分かりやすかったです❗

お礼日時:2021/02/12 16:31

ああ、酷い誤字だ。


訂正します。

この関係を使って、0≦x であるような整数 x を
「自然数」と呼びます。

この定義のしかたでは、自然数が定義されたと同時に
「1 + 1」という式が意味を持っており、この式の値を
「2」と命名することに意味があります。このようにすれば、
「1 + 1 = 2 は定義である」と言ってもよいでしょう。
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1 + 1 = 2 のほうを、なんちゃってじゃなく


きちんとやってみましょうか。 話の内容は、
こちらのほうがペアノ流よりもやや高度になります。

代数学の基本的な道具に「環」というものがあります。
環の定義から詳細に書くのは字数が足りないので、
そこは本を読んでください。足し算と掛け算が普通に
できる環境が環だと思えば概ねあたっています。環では
足し算,掛け算に付随して、0 と 1 も定義されています。

環といっても実にいろいろな例がありますが、その中で
1 を n 回足したら和が 0 になるものを「標数 n」,
1 を何回足しても和が 0 にはならないものは「標数 0」
であるといいます。 標数 0 の単位元を持つ可換環の全てに
共通な部分環が存在することが知られており、その環を
「有理整数環」と呼びます。 平素「整数」と呼んでいるのは、
この環とその元のことです。

整数の上に、以下のように関係「≦」を定義します。
・0≦1 である。
・どの整数 x についても、x≦x が成り立つ。
・a≦b, x≦y であれば、a+x≦b+y が成り立つ。
この関係を使って、0≦x であるような整数 x を
「有理数」と呼びます。

この定義のしかたでは、有理数が定義されたと同時に
「1 + 1」という式が意味を持っており、この式の値を
「2」と命名することに意味があります。このようにすれば、
「1 + 1 = 2 は定義である」と言ってもよいでしょう。
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そういう約束です。



1+1 を 2 と表現することに
しました。

それだけです。
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「難しい記号などは一切使わない」と言うのは「説明」にはなっても「証明」にはならないような気がします。

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◯◯これは丸いくつ?

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「1と1との和を2と書くことにしましょう」


と決めたわけです。(定義)

ですから、証明はできません。
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記号を使うなというのは無理でしょう。

"1"も”2”も"+"も"="も記号だし。
一応「中学生向け」→ https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2769678.html
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まあ、みなさんが言う通り、これは自然数に関する定義なので、定義に従って証明するのは、それなりに手間がかかります。





が一番わかりやすいかな・・・
でも、難しいと思いますよ。
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1に1と足すことを続ければ、それが1、2、3、4、…と言うようになります。


つまり、1+1=2、2+1=3、3+1=4、…となります。
これは単なる数とそれを表す記号との関係を「決まり事」としているだけです。
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