四角形の1辺が10cmの中に四角形の4つの頂点を中心に半径10cmの円弧が4つ描かれています。
四角形の中にサーフボードが2つ重なっているような図になると思いますが、その重なっている部分の面積を教えて下さい。
宜しくお願いします。

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A 回答 (4件)

正方形の頂点を左上から時計と逆周りにA,B,C,Dとします。


さらに円弧の交点4つを上から時計と逆周りにP,Q,R,Sとします。

PQ間の円弧を(PQ)とあらわすとすると
求める面積は(PQ)(QR)(QS)(SP)ですね。

正方形の中心をGとします。
すると
(PQ)(QR)(QS)(SP)
=(PQ)G+(QR)G+(QS)G+(SP)G
=4*(PQ)G ∵(PQ)G=(QR)G=(QS)G=(SP)G

(PQ)Gを求めれば終了です。

また
(PQ)G
=(PQ)C-△PCG-△QCG
=(PQ)C-2*△PCG ∵△PCG=△QCG

(PQ)Cを求めます。

P,Qは半径10cmの円の交点なので△PBCと△QCDは正三角形。
∴∠PCB=∠QCD=60°
∴∠PCQ=30°

(PQ)C
=10*10*π*(30°/360°)
=(25/3)π

△PCGを求めます。
BCの中点をMとすると、△PCBは1辺が10cmの正三角形なので、
PM=5√3
∴△PCG
=PG*MC/2
=(PM-GM)*MC/2
=(5√3-5)*5/2

よって
(PQ)G
=(PQ)C-2*△PCG
=(25/3)π-2*(5√3-5)*5/2
=(25/3)π-25√3+25

(PQ)(QR)(QS)(SP)
=4*(PQ)G
=(100/3)π-100√3+100

以上

説明しづらい!
図を書けば一発。
ふーつかれた。
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この回答へのお礼

親切な解説を頂き感動しました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/21 23:20

円周率を3.14として小数点2位以下があいまいですがおそらく出ました。


絵に描くと分かりやすいので。紙とペンを用意してください。

ココでは描けないので、各ヒント毎に理解したあと進んでください。
(いきなり7まで行くと混乱します)

まず、隣り合う点を中心として円弧を2コだけ書いてください。
<ヒント1>
真ん中にあるラグビーボールの大きさを求めます
(10×10×3.14÷4×2)-10×10=57(cm2)

<ヒント2>
半径10cmの1/4円からヒント1を除いた部分の大きさを求めます
(10×10×3.14÷4)-57=21.50(cm2)・・・(A)

<ヒント3>
ちょっととがった帽子型の大きさを求めます
半径10cm、60度の扇形の面積
10×10×3.14×60/360=52.33(cm2)
それぞれの円弧を中心とする辺を底辺とした半径10cmの正三角形の面積
10×5√3÷2=43.3
正三角形の淵にある細い三日月型の面積
52.33-43.30=9.03
ちょっととんがった帽子型の面積
43.3+9.03×2=61.36・・・(B)

ここで2つの円弧を追加する

<ヒント4>三味線のバチのような形の面積
正方形-B-A=100-61.36-21.5=17.04

<ヒント5>たけのこ(真ん中の四角を含む)を求める
100-21.5-17.04-17.04=44.42

<ヒント6>たけのこの先を求める
57-44.42=12.58

<ヒント7>ラグビーボールからたけのこの先2個を引くと真ん中が残る
57-12.58.12.58=31.84

(※計算間違いがあればご容赦ください)
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この回答へのお礼

大変親切な回答を頂き理解する事ができました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/21 22:42

説明は難しいなあ。

上手な人におまかせ。
値は
100(π/3+1-√3)
で、約31.5です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/21 22:37

100π/3-100√3+100(平方センチ)



って出ましたけど。計算力無いんで、自信ありません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/21 22:35

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Aベストアンサー

No.1一応補足。
No.1は一つの球体としての仮定です。

>ごろごろと球体があるだけではなく、5つの団子をくっつけて1つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。
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_(._.)_

Aベストアンサー

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2)
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1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

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底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって,a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき,すなわちa=√(1-h^2)のとき
最大値 (h^2+1)/2
ただし,これはh<=1 の場合

h>1の場合は,a=0のとき最大でS= h

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2004787.html

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(ボールを輪切りにしたときの)1つの円周 2πr・cosθ となり、
それを緯度θで積分すれば、すべての円周の合計、すなわち、球の表面積になります。

球の表面積を半径rの方向に積分すれば、球の体積になります。


微分は積分の逆として考えればよいので、下記のようになります。



球の中心を原点とした極座標(r,θ,φ)で考えるとき、

体積をrで微分すれば、表面積。
(体積は4πr^3/3、表面積は4πr^2 ですから、合ってますよね?)

表面積を緯度θで微分すれば、ある緯度θにおける1周の経線の長さ(1つの円周の長さ)。


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余弦定理より

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b^2=c^2+a^2-2accosB (3)

(3)より

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

(2)へ代入

AP^2=c^2+p^2-2cp[(c^2+a^2-b^2)/2ac]

(1)を代入

AP^2=c^2+(na/m)^2-2(na/m)c[(c^2+a^2-b^2)/2ac]

=c^2+(na/m)^2-(n/m)(c^2+a^2-b^2)

=[(n/m)^2-(n/m)]a^2+(n/m)b^2+(1-n/m)c^2

AP=√{[(n/m)^2-(n/m)]a^2+(n/m)b^2+(1-n/m)c^2}


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