y=1/4x^2−3と原点を中心とする円があって、2曲線は相異なる2点P、Qで接線を共有している 問

y=1/4x^2−3と原点を中心とする円があって、2曲線は相異なる2点P、Qで接線を共有している

問1
円の半径は2√2

問2
P、Qによって分けられる円の弧のうち、長さの短い方をDとする。CとDが囲む部分の面積を求めよ。

問2がわかりません。ちなみに答えは20/3ー2πです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/09 17:06

y=(1/4)x^2-3…(C)

と原点を中心とする円(半径r>0)
x^2+y^2=r^2
があって
2曲線は相異なる2点P,Qで接線を共有している
交点を(x,y)とすると
(C)の両辺に3を加えると
y+3=(1/4)x^2
↓両辺に4をかけると
4y+12=x^2
↓これをx^2+y^2=r^2に代入すると
y^2+4y+12=r^2
(y+2)^2=r^2-8
↓接点のyの2次方程式は重根を持つから
(y+2)^2=r^2-8=0
r=2√2
y=-2

r=2√2をx^2+y^2=r^2に代入すると
x^2+y^2=8
y^2=8-x^2
y=±√(8-x^2)

y=-2を4y+12=x^2に代入すると
4=x^2
x=±2
P=(-2,-2),Q=(2,-2)
P、Qによって分けられる円の弧のうち、長さの短い方Dは
D:y=-√(8-x^2)≧(1/4)x^2-3
だから

∫{-2～2}[-√(8-x^2)-{(1/4)x^2-3}]dx
=∫{-2～2}{3-(1/4)x^2-√(8-x^2)}dx
=3∫{-2～2}dx-(1/4)∫{-2～2}x^2dx-∫{-2～2}√(8-x^2)dx
=3[x]_{-2～2}-(1/12)[x^3]{-2～2}-2∫{-π/4～π/4}{4(cost)^2}dt
=12-(4/3)-2∫{-π/4～π/4}{2+2cos(2t)}dt
=12-(4/3)-2[2t+sin(2t)]_{-π/4～π/4}
=12-(4/3)-2π-4
=8-(4/3)-2π
=(20/3)-2π