xyz座標空間にある球の見え方について。

xyz座標空間に次のような球があるとします。
　球面：x^2+y^2+z^2=r^2
この球を点(a,b,c) (a>r, b>r, c>r)から見たときに見える部分（円）の方程式を求めることは可能でしょうか。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/17 21:50

#4は球の式だし。

rがダブってるし。

誰が good にしてる？　自分か？

No.5 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/17 12:33

点(a,b,c)を通る球の接線と球の接点の軌跡を求める問題とする。

このとき、3次元空間の関係で f(x,y,z)=0 という式は平面を表す
から、曲線を表すことはできない。つまり
　x²+y²+z²=r², ax+by+cz=r²・・・・・①
で表されるし、これ以上のことは言えない。

しかし、a=b=0 の場合は、x²+y²=r²(1-r²/c²) となって軌跡のイ
メージはしやすいが、しょせん、x-y平面の射影である。

つまり、①の場合、zを消してもx-y平面への射影であり、楕円とな
って、実際の円とは対応できず、あまり題意にそわない。

そこで、空間の曲線はパラメータ表示できることを使う。

したがって、x軸をz軸周りで(xy平面を)回転させて x'y'z'座標にす
る。ここで
　tanθ=b/a
にとると、点(a,b,c)のxy平面の射影の位置になる。さらに
　tanφ=c/√(a²+b²)
だけ、y'軸周りで(x'z'平面を)回転させると、x''y''z''座標系に移動
するとx軸がx''軸に行く。

回転公式から、これらは
[x]　[cosθ　-sinθ　0][x']
[y]=[sinθ　cosθ　0][y']
[z]　[0　　　0　　1][z']

[x']　[cosφ　0　-sinφ][x'']
[y']=[ 0 1 0 ][y'']
[z']　[sinφ　 0 cosφ][z'']
となる。つまり

[x]　[cosθcosφ -sinθ　-cosθsinφ][x'']
[y]=[sinθcosφ cosθ -sinθsinφ][y'']
[z]　[sinφ　 0 cosφ][z'']・・・・・・・・・・①
となる。

すると、x''y''z''座標系では点(a,b,c)の座標は
　x''=√(a²+b²+c²) , y''=z''=0
となる。点(a,b,c)をA、軌跡の一点をBとすれば、α=∠BOA とす
れば、cosα=r/√(a²+b²+c²) なので、軌跡の円の中心の座標は
　x''=l=rcosα=r²/√(a²+b²+c²)
であり、その半径は
　h=rsinα=r√{1-r²/(a²+b²+c²)}
となり、軌跡の円はパラメータ表示で
　y''=hcost , z''=hsint (0≦t<2π)

これらを①にいれれば求める奇跡の式が得られる。まとめると
[x]　[cosθcosφ　-sinθ　-cosθsinφ][r²/√(a²+b²+c²]
[y]=[sinθcosφ cosθ -sinθsinφ][hcost]
[z]　[sinφ　 0 cosφ][hsint]

　tanθ=b/a , tanφ=c/√(a²+b²)
h=rsinα=r√{1-r²/(a²+b²+c²)}

この回答へのお礼

endlessriver様

endlessriver様には以前にも質問に答えていただきました。
その際も明快な説明でしたが、今回もまたわかりやすい説明をありがとうございます。
プロセスがわかりやすく、3次元空間における図形の考えた方？が少しずつわかってきた気がします。
またわからないことがあったら、endlessriver様に答えていただきたい、そう思いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/02/17 22:04

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/02/15 01:43

原点をO、円上の点をP=(p、q、r)、A=(a、b、c)とすると

OPAは直角三角形だから
(p-a)^2+(q-b)^2+(r-c)^2 +r^2=a^2+b^2+c^2

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/14 22:28

「点qが球面上にある」というのは、すなわち、ベクトルqの長さはrである

　　|q|=r　…(1)
ということです。さて、「p=(a,b,c)から見てギリギリ見える範囲の端っこに（(1)を満たす）点qがある」ということは
　　(p-q)・q = 0…(2) （・は内積）
と表せる。なぜなら、qとpを通る直線は球の接線（qで接する）なので、原点Oとqとpが直角三角形（点qのところが直角）を成すからです。というわけで(1)と(2)の連立方程式がご質問の円の円周を表しています。

　ついでに、この円が乗っている平面は？と問うと、円周上の任意の点qから線分Opに下ろした垂線の足を点tとすれば、ベクトルtに垂直な平面がその平面である。⊿Oqpと⊿Otqは相似なので、
　　|t|:r = r:|p|
だから、
　　t =((r/|p|)^2)p
です。だから円の半径は√((r^2)-(|t|^2)) ですね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/14 19:06

どういう形で求めようとしているのかわからんけど

・その円を含む面の方程式
・円の半径
・円の中心
は全部簡単にわかるよね.

この回答へのお礼

円を含む面の方程式はax+by+cz=r^2なので、x^2+y^2+z^2=r^2との連立方程式から円の方程式が得られると考えたのですが、どう処理してよいのか分かりません。

お礼日時：2021/02/14 19:47

No.1 回答者： tantanm 回答日時： 2021/02/14 18:29

点(a,b,c)から球へ接線を引いて，その接点の座標の集まりを求めればいけそう．

なので可能だと思います．

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

当方もそのように考えたのですが，どのように処理すればいいか分からず苦戦しているところです…。

お礼日時：2021/02/14 18:32