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数学の“同値”について質問です。
例えば、x^2-4x+4=(x-2)^2 この場合、x^2-4x+4 と(x-2)^2 は全く一緒だと思います。例え、計算の途中で x^2-4x+4 を (x-2)^2 に置き換えても、全く問題ないと思います。
しかし一方、A⇔B この場合だったらどうでしょう。確かに、「AならばB」「BならばA」は成り立ってますが、AとBは完全に一致はしないと思います。そもそも形上、AとBは違うものなので、勝手に置き換えることはできないと思いました。
でも参考書は授業などで、AをBに置き換えている印象です。
例えば、AならばCを証明せよ という問題で、A⇔B より BならばCを証明すれば良い!的な感じで授業で解いてました。
それって数学上合法なんですか??
同値の場合って、勝手にそれぞれを置き換えてもいいんですか?よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (7件)

「(同値であるとしても)AとBは完全に一致はしないと思います」と言うのは質問者様の勝手な思い込み(∵同値の意味を分かっていない)のように思えましたが、改めて「同値」を辞書サイトで調べたら以下の説明がありました。




「論理学で、二つの命題p、qにおいて、一方が真であれば他方も真、一方が偽であれば他方も偽という関係が成り立つとき、pとqは同値であるという。また、『pならばq』と『qならばp』が同時に成り立つとき、pとqは同値であるという。等値。等価。同等」


つまり、pとqが同値な命題だとして、さらに「Aならばp、pならばB」と言う推論が成り立つとすれば、pとqの真偽は完全に一致するわけですから、先の推論の中のpをqに置き換えた「Aならばq、qならばB」と言う推論も成り立つ事になります。つまり同値な命題pとqは、見た目がいくら違ったとしても内容は同じと言う事になるので「全く同じ命題」と考えて差し支えない事になります。実際これまでの数学でも、ユークリッド幾何学の第五公準を『原論』に載っているオリジナルの形から「直線上にない一点を通ってその直線に平行な直線は一本しか引けない」と言う見やすい形の同値の命題に書き換えて考えると言う事がありました。そもそも日常生活でも「ある文を同じ内容の別の文に言い換える」と言うのは珍しくないはずだと思います。
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> 「AならばB」「BならばA」は成り立ってますが、


> AとBは完全に一致はしないと思います。

「AならばB」「BならばA」が成り立っていれば、
A と B の真偽は、完全に一致しています。
x^2-4x+4 と (x-2)^2 の値が完全に一致している
のと同じことです。

> そもそも形上、AとBは違うものなので、
> 勝手に置き換えることはできないと思いました。

x^2-4x+4 と (x-2)^2 も文字列としては違うものですが、
値が完全に一致しているから、置き換えることができます。
A と B の真偽についても、同じことです。
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> 同値の場合って、勝手にそれぞれを置き換えてもいいんですか?



いいんです。いやそれどころか、論理学や数学は、主としてその置き換えをやってるんです。
 仮に、「字面が違えば別の話だから、どうであろうと置き換えちゃダメ」という論理学を作ったとすると、そのルールの下では全く同じ文言をただ繰り返す以外に出来ることはない。推論ってことが全くできませんから、ナンニモ出てこなくなっちゃう。つまり、論理学も数学も一切成立しなくなります。
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>AとBは違うものなので



どういう意図で そう書いているのか分かりませんが、
x²-4x+4=A, (x-2)²=B とすれば A⇔B ですから 同値 ですね。
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その完全に一致しないで同値だと言われている具体的な例をあげて下さい


例)

A:x=0
B:x^2=0

x=0 ならば x^2=0
x^2=0 ならば x=0

のように
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「等しい」「同じ」という概念はそれ以上小さな概念を使って表す事が出来ない基本概念。


同値、つまり同じなんですよ。
2⇔√4、√4⇔x²=4の正の解。∴2⇔x²=4の正の解。
2も√4もx²=4の正の解も、綴りも違うし重ねてもピッタリ合う訳じゃ無いが、数学上は「同値」。

それをとやかく言うのは数学では無くて「神学」。
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同値とは


言い換えれば必要十分条件のことです
AとBが完全に一致の時だけAはBの必要十分条件(BはAの必要十分条件)
となるので
AとBが違うものなら必要十分ではありません
つまり同値でありません
なんで、あなたが「AとBは違うから」という前提で話を進められても
前提自体が違うという事です
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