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1.2.….nの中の2つのもじk,lをとるとき、
H={σ⊂S_n | σ(k)=k, σ(l)=l}は置換群であることを示すにはどのようにしたらよいでしょうか?

また、この置換群の位数は(n-1)!であると考えたのですが、会っていますでしょうか?

gooドクター

A 回答 (1件)

H が S_n の部分群であることを言えばいいのですね。


部分群であることを示すには、
H が演算と逆元について閉じていることを言えばいい。
σ,ρ∈H のとき、σ(k)=k, σ(l)=l, ρ(k)=k, ρ(l)=l より
(σρ)(k) = σ(ρ(k)) = σ(k) = k,
(σρ)(l) = σ(ρ(l)) = σ(l) = l なので σρ∈H.
すなわち演算について閉。
σ(k)=k より (σ^-1)(k)=k,
σ(l)=l より (σ^-)(l)=l なので σ^-1∈H.
すなわち逆元について閉です。

H の位数は (n-2)! です。
1,2,...,n から k と l を除いた n-2 個を置換するのだから、
H は S_(n-2) に同型ですよね。
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