1.2.….nの中の2つのもじk,lをとるとき、 H＝｛σ⊂Ｓ_n | σ(k)＝k, σ(l)＝l

1.2.….nの中の2つのもじk,lをとるとき、
H＝｛σ⊂Ｓ_n | σ(k)＝k, σ(l)＝l｝は置換群であることを示すにはどのようにしたらよいでしょうか？

また、この置換群の位数は(n-1)!であると考えたのですが、会っていますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/15 14:29

H が S_n の部分群であることを言えばいいのですね。

部分群であることを示すには、
H が演算と逆元について閉じていることを言えばいい。
σ,ρ∈H のとき、σ(k)＝k, σ(l)＝l, ρ(k)＝k, ρ(l)＝l より
(σρ)(k) = σ(ρ(k)) = σ(k) = k,
(σρ)(l) = σ(ρ(l)) = σ(l) = l　なので σρ∈H.
すなわち演算について閉。
σ(k)＝k より (σ^-1)(k)＝k,
σ(l)＝l より (σ^-)(l)＝l　なので σ^-1∈H.
すなわち逆元について閉です。

H の位数は (n-2)！ です。
1,2,...,n から k と l を除いた n-2 個を置換するのだから、
H は S_(n-2) に同型ですよね。