例えば、
1.y=(x^2+3x+1)^4
2.y=(log)^3
はどうやって公式に当てはめてとけば良いのでしょうか?
また、y=(log)^3に関しては以下のサイトのようなuを使わない場合の別解での公式の使い方を教えて下さい。
また、どんな式が合成微分だとわかるのでしょうか?判断の仕方が知りたいです。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun …
最後に、どうやって合成関数と判断して、微分できる公式を一から作ったのでしょうか
A 回答 (7件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.7
- 回答日時:
あくまでも「uをあからさまに書かないやり方」であって「uを使わないやり方」で計算する方法はないと思います。
先の回答と全く同じ要領で
dy/dx
={dy/d(logx)}{d/dx(logx)}
={3(logx)^2}(1/x)
=3{(logx)^2}/x
No.6
- 回答日時:
質問者様の言われる「uを使わない場合」の計算が「uを使う場合」の計算そのものである事を改めて。
話を分かりやすくするためにより簡単な
y=(2x+3)^2
と言う関数を微分する問題を考える事にします。
合成関数と考えて計算する場合の正当な方法は、まず
u=2x+3
と置き換えると
y=u^2
となります。
合成関数の微分の公式は
dy/dx=(dy/du)(du/dx)
ですが、この問題の場合は
dy/du=2u
du/dx=2
となるので
dy/dx=2u・2=4u=4(2x+3)
(=8x+12)
となりますが、慣れて来るといちいちuに書き換えずに(注:「uに置き換えずに」と言う意味では決してありません)、2x+3と言う式を言わば「生のまま」使って以下のように計算を進めます。
dy/dx
={dy/d(2x+3)}{d(2x+3)/dx}
=2(2x+3)・2
=4(2x+3)
(=8x+12)
ここで使った
dy/d(2x+3)
と言う書き方は見た事がないと思いますが、これは2x+3と言う式をまるごと一つの変数と考えて微分すると言う意味で、内容としては
u=2x+3
と置き換えたのと全く同じ意味です。
No.5
- 回答日時:
uを使う方法と本質は同じですが
1,y=〇⁴というように単純な関数とみて微分してあげればそれでよいのです
(他の関数でも丸をつかって一旦単純な関数とみてあげることがポイント)
x^2+3x+1部分を〇とみてやれば単純化できるから
y=(x^2+3x+1)⁴=〇⁴
これを微分すると
y'=(〇⁴)'・(〇の微分)
です
(〇⁴)'に、(〇の微分)を続けてやることがポイント
(〇⁴)'=4〇³(・・・参考(x⁴)'=4x³)
〇の微分=(x^2+3x+1)の微分=(x^2+3x+1)'=2x+3なんで
y'=(〇⁴)'x〇の微分
=4〇³・(2x+3)
=4(x^2+3x+1)³・(2x+3)
これをuなどつかって1クッション置くなら
●部分=uなんんで
u=x^2+3x+1とおくと
du/dx=2x+3
y=u⁴なんでuでの微分ヴァージョンを考えて
dy/du=(u⁴)'=4u³
定理により
dy/dx=(dy/du)(du/dx)=(2x+3)4u³ ←←←uを元に戻してあげる
2
y=(logx)³でも同じこと (対数の底のeは初項)
y=〇³という単純な構造が潜んでいることから
logxを〇と置いてやると
y=(logx)³=〇³
これを微分すると
(〇の微分)を続けてやることがポイントだから
y'=(〇³)'・(〇の微分)
です
(〇³)'=3〇²
〇の微分=(logx)'=1/x
ゆえに
y'=(〇³)'・(〇の微分)
=3〇²(1/x)
=3(logx)²(1/x)
No.4
- 回答日時:
1.y=(x^2+3x+1)^4の微分の公式は、f(x)=(x^2+3x+1)と置いて
dy/df(x)*df(x)/xです。
dy/df(x)=4(x^2+3x+1)^3
df(x)/x=2x+3
dy/dx=4(x^2+3x+1)^3(2x+3)
2.y=(log)^3は変数のない関数なので、微分は出来ません。
No.3
- 回答日時:
引用されているサイトを見ましたが、これって「uを使うやり方」でしたよ。
確かにuと言う文字は使っていませんが「いちいちuに書き直さずにlogxのまま計算を進めている」と言うだけであって、やり方は数学カテの質問に書いた「logxをuに置き換える」と言う方法そのままでした。そのサイトの説明を読んで「uに置き換えない方法」にしか見えなかったとしたら、率直に言って「説明の字面だけ読んでいて内容(式の意味)をこれっぽっちも理解していない」と言わざるを得ないと思います。式の意味が分かっていたら「uと言う文字を書いていないだけでuに置き換える方法の事」だと分かるはずなので。
No.2
- 回答日時:
今度のお礼コメントにあった「なぜu^4となるのか」についても数学カテの質問で回答した通りです。
1.の問題でu=x^2+3x+1
と置いたら、それを
y=(x^2+3x+1)^4
に代入すれば
y=u^4
となるのはすぐに分かるはずです。
ちなみにこの式の変形では省略は一切していませんが、これで「u^4になる理由が分からない」と言うのであれば教えて下さい。
(正直「見たまんまです」としか答えようがないはずですが)
()
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 数学 数学3の微分法・対数関数の導関数に関しての質問です。 [ ] は絶対値を表しています。 y=log[ 3 2022/05/24 14:07
- 数学 判別式の使う時とか使わない時を教えて欲しいです。明後日テストがあるんですが、D=0の時とかグラフが浮 7 2022/11/19 12:44
- 数学 この因数分解の公式を覚える価値は有りますか? 14 2022/08/19 22:03
- 数学 微分積分の問題でお聞きしたいことがあります。 次の関数zの2階の偏導関数を求める問題ですが、 log 2 2023/06/18 22:49
- 数学 【完全微分方程式⠀】 分数で分母が0になり定義できない場合、分母を仮にtと置いてそれを極限t→0とし 1 2022/05/06 14:43
- 数学 集合と論理について 2 2023/01/08 05:52
- 数学 数学『積分』 2つの曲線の間の面積 公式は 「y=f(x)−y=g(x)」 ここでいう曲線は直線も入 3 2023/03/25 00:13
- 中学校 数学の問題について教えてください。 10 2022/12/04 16:28
- 統計学 統計検定2級を取ろうと勉強中なのですが分からないことがあったので質問させていただきます。 スタージェ 6 2023/01/01 23:02
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
二階微分すると曲線のグラフの...
-
以下の説明文の変数係数とは何...
-
dx/dy や∂x/∂y の読み方について
-
周回積分記号を用いた面積分
-
分極の大きさPの求め方
-
物理 角度
-
熱力学 (dU/dV)t の解
-
座標表示から運動量表示への変換
-
電位係数を写真のようにおくと...
-
解析的の意味?
-
えこれがわからないのはやだよ ...
-
電気で使用する虚数単位は j=-...
-
プランクの放射式の微分
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
「PならばQ」と「(Pでない...
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
「無限の一つ前の数字は何?」...
-
全員と同じグループを経験でき...
-
年代と年台・・・どちらが正し...
-
三角関数の範囲について、 0≦x≦...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
dx/dy や∂x/∂y の読み方について
-
以下の説明文の変数係数とは何...
-
移動最小自乗法について
-
微分って何に使えますか?
-
二階微分すると曲線のグラフの...
-
周回積分記号を用いた面積分
-
ブラックの関係式
-
ファンデルワールス状態方程式...
-
えこれがわからないのはやだよ ...
-
電位係数を写真のようにおくと...
-
ポアソン括弧
-
熱力学 (dU/dV)t の解
-
近軸軌道方程式
-
分極の大きさPの求め方
-
シュレディンガー方程式は暗記...
-
ニュートンの冷却法則と熱伝導...
-
波動方程式について。 微分可能...
-
物理 角度
-
2s軌道の極大値についてまた...
-
「次式で与えられる1次元の波動...
おすすめ情報
皆さま回答ありがとうこざいます。
サイトにありますy=(logx)^3のuを使わないで解くやり方を知りたいです。
式を間違えて載せてしまいすいませんでした。