複素解析の正則関数であることの証明について

正則関数であるかどうかの証明についての質問です。
z∈{zは複素数でその実部が正}, |ω|=1では角度の変化は-π→πとする.このとき,
f(z) = ∫_{|ω|=1}ω^{-1}e^{z(ω-1/ω)}dω
が正則関数であることを示したいのですが , 積分を不等式評価して,

|f(z)| ≦ ∫_{-π}^{π}|e^{z(ω-1/ω)}|dω
≦∫_{-π}^{π}e^{-2y(sinθ)}dθ (z = x+iy とする.ただし, x,yは実数)
≦∫_{-π}^{π}e^{±2y}dθ (y>0なら+, y<0なら-をとる.)
=2πe^{±2y}

となると考えたのですが, ここから正則であること, つまり複素微分可能であることを示すにはどうすればよいのでしょうか. e^{±2y} は|ω|=1で積分可能であるから, ルベーグの優収束定理より極限と積分の交換が可能かと思ったのですが, そもそも右辺では実数についての極限で, 左辺では複素数での極限なのでそのように言えないような気がしました. f(z)が正則であることを示す方法をどなたか教えてくださいませんでしょうか.

よろしくお願いいたします.

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/24 16:28

g(ω,z) = ω^{-1}e^{z(ω-1/ω)} と置く。

積分記号下の微分 (d/dz)∫g(ω,z)dω = ∫(∂g/∂z)dω は、
右辺の積分が収束すれば、左辺も収束して等号が成り立つ。
∂g/∂z = (ω-1/ω)ω^{-1}e^{z(ω-1/ω)} は
有界閉集合 ｜ω｜=1 上で有界なので、右辺の積分は収束する。
よって、左辺は収束し、すなわち ∫g(ω,z)dω は z で微分可能である。

「積分記号下の微分」については、教科書を一読のこと。

この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます.
おかげさまで理解が進みました。また教科書で確認もしてみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/02/25 16:12