在宅ワークのリアルをベテランとビギナーにインタビュー>>

次の(vi)の証明を補題という言葉を使わずに証明していただけないでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
問題です。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956
解答です。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/979

gooドクター

A 回答 (2件)

(vi)


(v)から
nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)から
c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

x=√(2n)とすると
n>72ならば
12<√(2n)=x
12<x

9以下の素数{2,3,5,7}の個数は[9/2]=4個
11以上x以下の素数の個数は
11以上x以下の奇数
{11=2*1+9,…,2m+9≦x}の個数m=[(x-9)/2]より小さいから

x以下の素数の個数π(x)<[9/2]+[(x-9)/2]≦x/2

x=√(2n)だから
√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える

また,(iv)を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<4^(2n/3)

したがって
n>72ならば
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
n>72ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える
    • good
    • 0

(iv)の証明


F(n)=[c_n<2^(2n-1)]
とする
F(2)=[c_2=4C2=4*3/2=6<8=2^(2*2-1)]は真
ある自然数n≧2に対してF(n)が真と仮定する
c_n<2^(2n-1)

c_(n+1)
=(c_n)2(2n+1)/(n+1)
<{2^(2n-1)}2(2n+1)/(n+1)
<2^(2n-1)・2・2
=2^{2(n+1)-1}

F(n+1)=[c_(n+1)<2^{2(n+1)-1}]も真だから

任意の整数n≧2に対して
c_n<2^(2n-1)=(4^n)/2
が成り立つ

任意の整数n≧2に対して,
Q(n)=Π_{n+1≦素p≦2n}p=(n<p<2nとなる素数pの積)
P(n)=Π_{素p≦n}p=(p≦nとなる素数pの積)
とする

2nは合成数だから
Q(n)=Π_{n+1≦素p≦2n}p=Π_{n+1≦素p≦2n-1}p
また,等式
(1/2)(2nCn)=(2n-1)(2n-2)…(n+1)/{(n-1)(n-2)…1}
の右辺において
n+1以上2n-1以下の素数は分子に1回ずつ現れるだけで約分されない
よって
Π_{n+1≦素p≦2n-1}p≦(1/2)(2nCn)
さらに,[c_n<(4^n)/2]より,n≧2ならば
c_n=(2nCn)<2^(2n-1)だから
(1/2)(2nCn)
<{2^(2n-1)}/2
=2^{2(n-1)}
=4^(n-1)

Q(n)<4^(n-1)

F(n)=[P(n)<4^n]とする
F(1)=[P(1)=Π_{素p≦1}p=1<4^1]は真
F(2)=[P(2)=Π_{素p≦2}p=2<4^2]は真
n≧3の時自然数k≦n-1についてF(k)は真と仮定する
nが偶数の時3以上の偶数は合成数で素数でありえないから
P(n)=Π_{素p≦n}p=Π_{素p≦n-1}<4^(n-1)<4^n
だから
F(n)は真
nが奇数の時
n=2m-1(m≧2)となる整数mがある
P(n)
=Π_{素p≦n}p
↓n=2m-1だから
=Π_{素p≦2m-1}
=Π_{素p≦m}pΠ_{m+1≦素p≦2m-1}p
↓P(m)=Π_{素p≦m}p
↓Q(m)=Π_{m+1≦素p≦2m-1}pだから
=P(m)Q(m)
↓m<n→P(m)<4^mだから
↓Q(m)<4^(m-1)だから
<(4^m)4^(m-1)
=4^(2m-1)
だから
F(n)は真

P(n)=Π_{素p≦n}p<4^n
    • good
    • 0
この回答へのお礼

(vi)の証明は、補題という単語を使わずに、証明するとどうなるのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/24 00:20

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング