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線形代数に関する質問です。問題は以下の通りです。
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C^nをn次元複素ユークリッド空間、x∈C^n でMをC^nの線形部分空間、{u_1,u_2,…u_n}をMの完備正規直交系とします。

z = <x, u_1>u_1 + <x, u_2>u_2 +…+ <x, u_n>u_n
y = x - z
とすると、i=1,2,…nに対して<y, u_i>=0 が成り立つ、つまり、yとu_i が直交することを示してください。

ただし、任意のa,b∈C^nに対して、<a, b>は内積を表していて、aの共役をとることにします。
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自分でも解いてみましたが
<y, u_i> = <x - z, u_i>
= <x , u_i> - <z, u_i>
= <x , u_i> - <x, u_i>* (<x, u_i>* : <x, u_i>の共役複素数)
= 2 × Im(<x , u_i>)× j (j は虚数単位、iは添え字として使っているため)

となり、0になることを証明できていません。回答者様独自の方法で回答してくださっても十分なのですが、ここからどうすればいいのか教えていただけるとより一層うれしく思います。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • ❌{u_1,u_2,…u_n}

    ⭕ {u_1,u_2,…u_m}
    (m<n)
    です。すみません。

      補足日時:2021/02/23 18:53
gooドクター

A 回答 (3件)

あ, 確かに. 勘違いしてた.



自分でも勘違いしていたのであんまりいいたくないけど, この問題を出した人も勘違いしていたのかもしれない.

内積 <a, b> で a ではなく b を共役にすればいけるはずだし, 内積をそのままにしても z における各 u_i の係数と <y, u_i> のところを逆にしてもいいのかな? 操作としては複素ベクトル空間におけるグラム・シュミットの直交化だから, そっちで調べてもらった方が確実かも.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
「内積 <a, b> で a ではなく b を共役にすればいけるはずだし,・・・」
→はい。そのことにはご指摘いただく前から気づいていました。
z における各 u_i の係数を<u_i, x>とすれば、直交がいえます。

ちなみに、これは問題ではなく、教科書の記述です。著者のミスなのかもしれません。

お礼日時:2021/02/24 14:39

<a, b> = (a^*)b と定義するのが普通だとは思うが、


複素内積でどっちのベクトルを共役転置するかは
実は絶対的に決まっているわけでもない。
教科書によっては <a, b> = a(b^*) と定義している
場合もあり得るだろう。
あるいは、著者がその辺を混同した可能性もあり、
誰が勘違いしたのかは微妙。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

教科書には
<a, b> = (a^*)b
と定義されています。

お礼日時:2021/02/24 17:05

<x , u_i> - <z, u_i>



<x , u_i> - <x, u_i>*
になるのはなぜ?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!
<x , u_i> - <z, u_i>
= <x , u_i> - <Σ(j = 1 ~ m)<x, u_j>u_j, u_i>
= <x , u_i> - Σ(j = 1 ~ m)<<x, u_j>u_j, u_i>
= <x , u_i> - Σ(j = 1 ~ m)(<x, u_j>*)<u_j, u_i>
= <x , u_i> - (<x, u_i>*)<u_i, u_i>
= <x , u_i> - <x, u_i>*
と変形しました。

お礼日時:2021/02/23 19:06

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