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v=(a,b)として
座標平面に図示して下さい。
始点と終点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を書けば、三平方の定理が使えますね。
三平方の定理はご存知ですか?
||v||=√(a^2+b^2)…①
となります。

内積の定義もご存知でしょうか。
(v,v)=a^2+b^2…②
となります

①②より
||v||=√(v,v)…③
が2次元の場合に成り立つことがわかりました。

においてなぜ②が成り立つかわかりません。
どうか、わかりやすく教えて頂けないでしょうか?

どうか図を用いて説明して頂けるとありがたいです。
理解しやすいです。三平方の定理は知っています。

質問者からの補足コメント

  • なぜ、√(a^2+b^2)が点vを含んだ
    ||v||になるのかわかりません。

    また、なぜa^2+b^2が(v,v)となるのかわかりません。内積の計算は知っていますが。

      補足日時:2021/02/23 21:23
  • また||v||=√(a^2+b^2)の||v||はなんですか?
    絶対値とかではないと思いますが調べても出てきません。

      補足日時:2021/02/23 21:29
gooドクター

A 回答 (1件)

2次元のベクトルの場合に話を限ると、ベクトルvを成分で表すには v = (a,b)のように書く。

aとbは実数です。これをベクトルの成分表示と言います。ベクトルvを矢印の図で描くときには、xy平面の原点から点(x,y)=(a,b)への矢印を描く訳です。
 (何次元のベクトルであっても)||v||はベクトルvの長さであり、だからその値は √(a^2 + b^2)で、これは「vとvの内積の平方根」になっています。

 さて、ベクトルpとqの内積を (p,q) と書く流儀があり、この流儀に従えば「vとvの内積」は(v,v)と書く。ご質問に引用なさった文章もこの流儀を使っています。しかし、内積(p,q)の記号 "( , )" は上記の成分表示とは全く関係がありません。(実際、(p,q)のpとqは実数ではなくベクトルです。)関係がないものを同じ記号で書くだなんて、紛らわしくて困ったもんです。なので、ベクトルpとqの内積をp・q と書く流儀を使うことをオススメします。こっちで書きますと、
  ||v|| = √(v・v)
である。特にvが2次元のベクトルである場合、vの成分表示は
  v = (a,b)
であり、したがって、
  ||v|| = √((a,b)・(a,b)) = √(a^2 + b^2)
ということです。
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