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なぜネイピア(e)の指数関数の場合は
微分されるxやθのような変数は係数に出来ないのでしょうか?
その方が計算がうまくいくとわかったからでしょうか?
ならばz=e^iθよりdz/dθとした際に
θが係数になりませんが、虚数iはなぜ係数になるのですか?その方が都合が良いためでしょうか?


また。ローラン展開に関して、なぜn=-1以外の部分は0になるのでしょうか?

「なぜネイピア(e)の指数関数の場合は 微」の質問画像
gooドクター

A 回答 (1件)

なんか、いろいろな質問が一度に詰め込まれてるけど...




> なぜネイピア(e)の指数関数の場合は
> 微分されるxやθのような変数は係数に出来ないのでしょうか?

「係数」ってのが何の係数のことだか説明不足。
(d/dx)(a^x) = (a^x)(log a) だって、右辺に x は出てない。
いや、出てくるか。 a^x の部分に。
しかし、それを言うなら (d/dx)e^x = e^x だって
e^x の部分に x は出てきている。 何が言いたいのか?

もしかして、 e^x = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k の右辺の
ベキ級数の係数部分に x が出てこない という意味であれば、
それこそ、 e^x でなくても任意の f(x) について
f(x) = Σ[k=0→∞] {f^(k)(0)}(1/k!)x^k であって、
係数 {f^(k)(0)}(1/k!) は f と k のみで決まり
そこに x は出てこない。


> ならばz=e^iθよりdz/dθとした際に
> θが係数になりませんが、虚数iはなぜ係数になるのですか?

dz/dθ = iθ だから、「θが係数になりません」と言えるのかどうかも謎。
上の論点もそうだが、自分が何を質問しているのかを整理して
ちゃんと把握したほうがいい。 いったい何を質問しているのか?
少なくとも、その質問文からは汲み取りようがない。

e^(iθ) のマクローリン展開の係数に i が登場する理由については、
(d/dθ)^k e^(iθ) = (i^k)e^(iθ) に θ = 0 を代入したときに
k の値によっては値に i が残る式になるから... とでも言うしかあるまい。
実際、そうなっているから... と。


> また。ローラン展開に関して、なぜn=-1以外の部分は0になるのでしょうか?

∮(x-1)^n dx を各 n について積分してみれば判る。
n ≠ -1 のときは、 (x-1)^n が x ≠ 1 で一意に不定積分できるので、
       ∮[C] (x-1)^n dx = 0 になる。
n = -1 のときは、 x を極座標変換してみれば
       ∮[C] (x-1)^-1 dx = 2πi と計算できる。
これも、実際、そうなっているからとしか言いようがない。
あるいは、たまたまそうなるようにできているから、
ローラン展開と留数が有用なのだ... とか。
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この回答へのお礼

どうか少しだけでよいので、ローラン展開に関してn=-1以外の部分にかんして積分をして0を導いて頂けないでしょうか?

お礼日時:2021/02/27 21:38

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