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ローラン展開に関して、なぜn=-1以外の部分は0になるのでしょうか?
公式は載っているのですが、具体的な過程の計算が載っておらず気になっています。
画像のように具体的に計算して見ましたが、なんだかしっくり来なくて。
どうかn=-1以外の積分が0になることを証明した過程の計算を用いた公式を導くまでを教えて頂けないでしょうか?
また、出来れば、画像のn=-1の積分の式もなぜ0になるかを載せた画像をにある式を使い具体的に計算する過程を見せて頂けないでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 画像はこちらです。

    「ローラン展開に関して、なぜn=-1以外の」の補足画像1
      補足日時:2021/02/25 04:08
gooドクター

A 回答 (3件)

C={z:|z-1|=r}で積分とあるので


z=r*e^(iθ)+1 θ:0→2π
という経路で積分をする。

∫_C (z-1)^n dz =∫[0→2π] r^n*e^(inθ) ir*e^(iθ)dθ

となる。これを計算すればよい。

これくらいの計算は自分でやること。
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疑問を持つとこはそこ?


この議論でやや難しいのは、
ローラン展開を項別に積分してよい根拠のほうだと思うんだが。

項別積分を認めてしまえば、
(z-1)^n (n≠-1) は一価な原子関数 { (z-1)^(n+1) }/(n+1) を持つから
閉路積分の値は 0。 それだけのこと。
この話は、同じ質問の前回投稿に回答したね?

∮dz/(z-1) = 2πi になる理由は、きちんと示そうとすると
π の定義が絡んでくるから、初等関数を定義するところから
一通り全部書くことになる。 膨大だね。

とりあえず、∮dz/(z-1) が 0 でない理由だけ書いておくと、
log の逆関数 exp が周期関数であるために
log は全域で一価正則な枝を持てないから... とでもなるかな。
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なんか途方もない質問だな。

関数論の本で複素積分の項を頭からみっちりやればよろし。
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