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袋の中に玉が1個入っています。色は赤か白のどちらかです。
いま、もう1個白い球を袋に入れました。
良くかき混ぜて、1個取り出したら白でした。
袋に残っている玉が白である確率を求めなさい。
------------------------------------------------

という、どこかに出ている問題なのですがね、答えは2/3だそうです。
これは、おかしいでしょう。どう考えても。
そもそも、問題が。

BAの回答は、どうも最初の玉が白である確率を1/2としている様だけれど、それはどこから出てきた数字なのか。
最初の玉が白である確率は1/2であるとか、問題文のどこかに書いてあれば別だが、この内容だけで判断するならば、問題の不備としか言いようがないでしょう。

あるいは、最初の玉が白である確率が1/2ならば、と断りを入れてから2/3と回答するか、
最初の玉が白である確率をpとすれば、2p/(1+p)と答えるか、でしょう。

gooドクター

A 回答 (16件中1~10件)

本題から外れた方向にもっていっちゃた気もするので戻すことにしよっと.



本質的には質問文の通りで「問題の条件が不足している」ということになる. そのうえで「問題に不備がある」とするか「なんらかの条件を設定してその条件下で答える」か, どちらかではないかなぁ.
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この回答へのお礼

月のウサギを持ち出したのは、間違いでした。話がそれました。
ともかく、この問題には不備がある、これを結論にして良いと思います。

お礼日時:2021/03/07 22:56

白人は黒人のアルビノだったの?

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アルビノのカラスは知られているので, ナイーブには


「全てのカラスの色が黒である確率」は 0
なんだけど....

そもそもこれは「『確率』と呼ぶのが間違い」だろうねぇ.
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諺に、「どこの烏も黒さは変わらぬ」とあります。


今でも否定された事が無いので、全てのカラスの色が黒である確率は1。
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では、全てのカラスの色が黒である確率は?

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月に空気が無いので、月にウサギがいる確率も0で良い。

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ツベコベ理屈を言うのが、数学なんですよ。


こんなもんでいいだろ? の実務家とは違うんです。
真面目にものを考えるということです。
惰性は惰性、妥当とは違うものです。
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#8です。



退散を決めましたが、言い残すことがありました。私は数学者ではなく、実務家なので、その視点での回答です。あしからず。

『入社試験に出たら、悪いことは言わないので、2/3と書いて下さい。』

どうせ解答の数値だけで採点されるし、欄外にツベコベ書くと「めんどくさいやつ」と思われます。出題者が採点していれば良いけど、採点するのは事務方なので、ツベコベ書くのは逆効果です。

これにつていも、何か書かれるかもしれないが、企業人としては大きなお世話です。



>どうも最初の玉が白である確率を1/2としている様だけれど

これが、無情報事前分布の一番妥当な値なのです。(←負け犬の遠吠え)
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#5です。



これはもう、古典論者とベイズ主義の争いなので、高見の見物が一番楽でしょうが、私はベイズ側の役で参加しちゃったので、言い訳をさせて下さい。

私が言っている「妥当な」事前確率とは、捏造ではありません。>#6
しかし、掘り下げると「無情報事前分布non-informative priorの正当化」という議論で、事前分布の恣意性に関する終わらない議論なのです。

もうこれは、統計哲学に属する話なので、私は逃げ出します。尊敬するstomachman先生が来られたので、私の出る幕はありません。

置き土産として、ご質問者や他の高見の見物の皆さまに参考文献を上げておきます。

(1)エリオット・ソーバー(松王政浩訳)(2012)「科学と証拠ー統計の哲学入門ー」,名古屋大学出版会
(2)大塚淳(2020)「統計学を哲学する」,名古屋大学出版会

追伸、
私は企業人で、実務家です。
・ベイズ推定はビッグデータ化とともに、パラメータ逆推定の強力な武器として企業の統計家の間に浸透してきています。本も沢山出ているので、流行していることは感じ取ってもらえると思います。
・もはや、分散分析もベイズでやる時代です。
・学校では、ベイズが全く教えられず?古典オンリーなので、企業に入るとビックリしますが、社内教育で教えてもらえます。
・どちらかというと、OpenBUGSとかStanのようなMCMCソフトの使い方がメインですが・・・。最近ではJASPも。
・ご質問の問題はその初歩中の初歩問題として軽く受け流すような問題で、社内教育では哲学のような(不毛な)話は一切しません。
・そして、企業の実務問題では、無情報の場合の事前確率は「安全側」に恣意的に設定されることを申し添えておきます。
・しかも、事後分布のEAPを推定値とはせず、95%CI上限を推定値にし、これも安全側で処理します。
・stomachman先生のおっしゃる話が実務家のセンスに近いかもしれません。
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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12230711.html

のことかしらん。(かの質問者氏が本当に納得したとは、とても思えませんでしたが。)

 それはともかく、「確率を求めなさい」という問いなら、まさしくご質問にお書きの通りの話になるかと思います。

 さて、以下余談ながら、これが仮にベイズ確率の話だったとしたらどうか:
 ベイズ確率の問題として扱うには、「事前確率分布をこう設定した」と断りを入れた上で、「事後確率の確率分布」、すなわち、確率を決めるパラメータの確率分布を計算することになります。

 原理的には、事前確率を「コウに違いない!」と特定の値に固定(すなわち「事前確率の確率密度がデルタ関数で表される」と仮定)したって良いんですが)、しかしそれでは、数学とは関係ないところで足元が怪しい。実際、「赤玉と白玉」の代わりに「レディーガガと一般人」と言われた途端に(数学的には全く同じ話であるにも関わらず)値を変えたくなっちゃうでしょう。ですから、ベイズ確率論で事前確率の確率密度としてデルタ関数はまず使いません。

 ご質問の末尾にあるパラメタpについて、その事前確率が(デルタ関数は論外として)「無情報だから」というんで一様分布に従う(という考え方にも異論が多々あるどころか情報幾何学の主題のひとつでもあるわけですが、ま、ともかくそうだ)と仮定しますと、
  q = 2p/(1+p)
の確率密度関数は
  φ(q) = dp/dq = 2/(2-q)^2
です。

 さらに、強いて推定値(すなわち、事後確率の確率分布の代表値)を出せと求められたなら、何を推定値として採用するか(もちろん推定値の用途に応じて選ぶ)についての断りを入れて、ようやく計算ができるわけです。

 上記のφ(q)が最大になるのはq=1のときだから、1と推定する(事後確率最大値による推定)。あるいは、期待値を計算してみると
  ∫{q=0〜1} qφ(q) dq = 2 - log(4) ≒ 0.61
だから、0.61と推定する(事後期待値による推定)。はたまた95%信頼区間を使って、{2/41, 78/79]と推定する。などなど。

…ってことになりますねー。
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