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三角関数の不等式の問題です。
90°<θ<180°のとき、2cosθ≧3tanθを満たすθの範囲を求めよ。

これを解いたら範囲が
(cosθ)^2≦-3と3/4≦(cosθ)^2になり、
(cosθ)^2≦-3の方は2乗を外すと虚数なので不敵なので、3/4≦(cosθ)^2を採用するとθはθ≧150°になります。
条件の90°<θ<180°と合わせると、答えは150°≦θ<180°になると思うのですが、解答は90°<θ≦150°でした。

解き方、理由を教えてほしいです。

gooドクター

A 回答 (5件)

90°<θ<180°のとき、-1<cosθ<0、0<sinθ<1



2cosθ≧3tanθ
2cosθ≧3(sinθ/cosθ)
2cos²θ≦3sinθ
2(1-sin²θ)≦3sinθ
2sin²θ+3sinθ-2≧0   
(2sinθ-1)(sinθ+2)≧0
sinθ≦-2,1/2≦sinθ  これと0<sinθ<1から、-2は不適
1/2≦sinθ≦1
ここで解答が30°≦θ≦90°,90°≦θ≦150°と出るが、前提条件として90°<θ<180°となるので

90°<θ≦150°
これは-1<cosθ<0も満たす。 終
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どこをどうやったら


(cosθ)^2≦-3と3/4≦(cosθ)^2
になるのか教えてほしい・・・謎
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90°<θ<180°のときは 第2象限です。


(3/4)≦cos²θ → -√3/2≧cosθ , cosθ≦√3/2 で、
cosθ<0 ですから θ≦150° となりますね。
で、90°<θ<180° と合わせて 90°<θ≦150° 。

θ が180°に 近づくと 2cosθ≧3tanθ は
全く成り立たないことが 直ぐに分かるでしょ。
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どうやって解いたのか分かりませんが、ふつうにやれば


90°<θ<180°のとき、
 sinθ > 0
 cosθ < 0

この上で
 2cosθ ≧ 3tanθ     ①
の両辺に「cosθ < 0」をかければ、不等号の向きが変わって
 2cos^2(θ) ≦ 3sin(θ)   ②

cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ)
なので、②は
 2[1 - sin^2(θ)] ≦ 3sin(θ)
→ 2sin^2(θ) + 3sin(θ) - 2 ≧ 0

x = sin(θ) とおけば、90°<θ<180°なので 0<x<1 であり
 2x^2 + 3x - 2 ≧ 0
→ (2x - 1)(x + 2) ≧ 0
0<x<1 という条件なので
 1/2 ≦ x < 1

よって、90°<θ<180 で
 1/2 ≦ sin(θ) < 1
という条件から、
 90° < θ ≦ 150°


あなたがどうやって解いたのか分からないけど
 3/4≦(cosθ)^2
なら、cosθ < 0 なので
 cosθ ≦ -(√3)/2
より
 150° ≦ θ < 180°
にはなるけど、おそらくその前の段階で間違えている。
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単位円を書けば解る。


θ≧150°じゃ無くて、150°≧θだよ。
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