積分可能の条件について

表題の件について、
画像問2の設問なのですが、
十分条件はリーマン積分可能なことから
上積分と下積分が一致することと
＿Si（f）－＿Si（f,Δ）＜εかつ
￣Si（f,Δ）－￣Si（f）＜ε
を使って示せるのですが、
必要条件が示せず、ご教授頂きたく質問致しました。
何卒よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• すみません、勉強不足なところあるので
  リーマン積分可能ならば￣Si（f,Δ）－＿Si（f,Δ）＜εは示せるのですが
  その逆の
  ￣Si（f,Δ）－＿Si（f,Δ）＜εならばリーマン積分可能なことの証明をご教授頂ければと存じます

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/02 21:43

• ご回答ありがとうございます！
  右辺の変形のところなのですが、条件は
  ￣Si（f,Δ）－￣Si（f）＜ε
  ＿Si（f）－＿Si（f,Δ）＜εなので
  
  右辺＝￣Si（f）-￣Si（f,Δ）（→＞－ε）
  ＋￣Si（f,Δ）-＿Si（f,Δ）（→＜ε）
  ＋＿Si（f,Δ）-＿Si（f）（→＞－ε）
  になるのですが、いかがでしょうか…

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/03 08:19

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/03/03 17:15

あ、すいません。

右辺第一項第三項はあやまりでした。
ただ、第一項第三項はΔがどうであろうと≦0なので
右辺全体の評価は＜0＋ε＋0＝ε
つまり
0≦￣Si（f）-＿Si（f）＜ε　と
3εがεにかわるだけでε→0とすれば結論は同じです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
確かに≦0ですね、見落としてました
形式に拘り過ぎてたのかもしれません…
凄く助かりました！m(__)m

お礼日時：2021/03/03 17:59

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/03/02 22:25

￣Si（f）-＿Si（f）＝￣Si（f）-￣Si（f,Δ）

　　　　　　　　　　＋￣Si（f,Δ）-＿Si（f,Δ）
　　　　　　　　　　＋＿Si（f,Δ）--＿Si（f）と変形すれば
条件によって、ε＞0にたいして右辺の3つの項がそれぞれ＜ε
となるようなΔが存在するから
0≦￣Si（f）-＿Si（f）＜3ε　がなりたち
よってε→0とすればはさみうちの定理で
￣Si（f）-＿Si（f）＝0　になります。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2021/03/02 16:04

おかしいなあ？

あなたが示しているのが必要条件だけど？？