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例えば、lim(x → 1)(x+3)=4と書きますが、これは、なぜ=かというと、4に限りなく近づいて、
もう4とみなしてもいいくらい大差がないから。ということで、=なのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    δ=a<1
    0<|x-1|<δ
    この 2つはどのように予想したのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

    No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/14 08:26
  • うーん・・・

    δ=aとしなければいけない理由は何なのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

    No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/14 21:26
gooドクター

A 回答 (19件中1~10件)

「lim」とは「極限」のことですから。

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この回答へのお礼

なぜ、≒ではなくて、=なのかご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/02 17:51

No.1 です。



>なぜ、≒ではなくて、=なのかご教授頂けると幸いです。

だから「極限」といっているでしょう?

「有限の範囲で一生懸命に近づける」のではなく「無限に近づける」のですよ。「限りなく」=「無限」です。
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この回答へのお礼

No.5の方と意見は同じでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/02 22:35

たとえば、0.999・・・と無限に9を続けると、=1になります。



0.999・・・=a と置くと、
10a = 9.999・・・ なので、

10a - a = 9.999・・・ - 0.999・・・ = 9

よって、9a = 9なので、a=1です。

0.999・・・ = 1

という式は、直感的には変な感じかもしれませんが、
近似ではなく、イコールなんです。
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この回答へのお礼

No.5の方と意見は同じでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/02 22:35

これは大変難しい。

一言でいえば「それが極限の定義だから」

  lim[x→1](x+3) = 4

は x を 1 に近づけるという無限の操作が完了したら x + 3 = 4 になるといっているのではなく、x を 1 に近づけると x + 3 が近づいていく「行き先」が 4 であることを示す。
 上の例だと x を 1 に代入するだけで4になってしまう。高校数学でよくやらされる極限の計算問題は、ほとんどそうではないかな。そんな計算問題をいくらやってもなかなかわからないと思う。

 瞬間速度の概念と、「飛ぶ矢は静止している」というパラドックスを対比してじっくり考えるとわかるかもしれない。
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この回答へのお礼

No.5の方と意見は同じでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/02 22:35

最終ゴール、決して辿り付けないけど、限りなく近づけるゴールだからです。



lim(x → 1)(x+3)は、最終ゴールは幾つ?って言う意味です。

だから「ゴールは4です」、つまり「ゴール=4です」と言ってます。
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lim[x→1](x+3) = 4 という式は、


x が 1 に近づくとき (x+3) は 4 に近づくことを表している。
lim[x→1](x+3) は、近づく途中で (x+3) がとる値ではなく、
(x+3) が近づいてゆく その行き先の値を表す式だ。
だから、4 に近いのではなく、4 そのものとなる。
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この回答へのお礼

No.5の方と意見は同じでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/02 22:34

lim(x → 1)(x+3)=4を


ε-δ論法で考えると次のようになる。任意の ε に対して δ = ε と取れば
0<|x-1|<δ
|x+3-4|=|x-1|<δ=ε
なので
x → 1 のとき (x+3) → 4 となることが ε-δ論法により示されたことになる。
限りなく近づいて、の表現は曖昧で数学的ではありません。
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|x-1|=a>0 を小さくすれば |(x+3) -4|=b>0 もいくらでも


小さくできるとき, 4 は x+3 の極限値です。

lim は この 4 を引っ張り出す記号です。
(x+3)の値じゃありません。
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例えば


x+3が
4に限りなく近づいて
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値を
x+3=4+s
とすると
x=1+s
となるのだけれども
そのsにたいして
a=|s|>0
x≠1に対して
f(x)={|(x-1)^2-a^2|+4x-4+a^2}/(x-1)

関数f(x)を定義すると

|x-1|≧aの時
f(x)
={(x-1)^2-a^2+4x-4+a^2}/(x-1)
=(x^2-2x+1-a^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(x^2+2x-3)/(x-1)
=(x+3)(x-1)/(x-1)
=x+3
だから
f(1+a)=4+a=4+|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だけれども

|x-1|<aの時
f(x)
=(a^2-(x-1)^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-x^2+2x-1+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-5+6x-x^2)/(x-1)
={a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

lim_{x→1-0}f(x)
=lim_{x→1-0}{a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

↓lim_{x→1-0}{a^2+4-(x-3)^2}=a^2+4-(1-3)^2=a^2+4-2^2=a^2
↓分子はa^2に近づき
↓lim_{x→1-0}(x-1)=-0
↓分母は負方向から0に近づくから

=-∞
となる

lim_{x→1+0}f(x)
=lim_{x→1+0}{a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

↓lim_{x→1+0}{a^2+4-(x-3)^2}=a^2+4-(1-3)^2=a^2+4-2^2=a^2
↓分子はa^2に近づき
↓lim_{x→1+0}(x-1)=+0
↓分母は正方向から0に近づくから

=∞
となるから

xを1よりも小さい方向から1へ近づけるとf(x)は-∞に発散するから
lim_{x→1-0}f(x)=-∞
xを1よりも大きい方向から1へ近づけるとf(x)は∞に発散するから
lim_{x→1+0}f(x)=∞
となるから
xを1へ近づけるとf(x)は±∞に発散するからf(x)は4には収束しないから
lim_{x→1}f(x)=±∞≠4
だから

f(1+a)=4+a=4+|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから
という理由だけで
lim_{x→1}f(x)=4
としてしまうと
実際には
lim_{x→1}f(x)=±∞≠4
となる事もあるのだから

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから

lim_{x→1}f(x)=4
としているのではありません
間違いです
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この回答へのお礼

x≠1に対して
f(x)={|(x-1)^2-a^2|+4x-4+a^2}/(x-1)
とすると
4には収束しません
lim_{x→1}f(x)≠4
となります
ある正数ε=3>0が存在して
すべての正数δ>0に対して
x=1+{min(1,δ,a)}^2/4
とすると
|x-1|≦{min(1,δ,a)}^2/4
|x-1|≦1/4
-1/4≦-|1-x|
|x-1|≦δ/4<δ
|x-1|≦a^2/4
4≦a^2/|x-1|

|f(x)-4|
=|[{a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)]-4|
=|1-x+{a^2/(x-1)}|
≧(a^2/|x-1|)-|x-1|
≧4-1/2
>3

(0<|x-1|<δ)&(|f(x)-4|>3)
となるxが存在するから
lim_{x→1}f(x)≠4
となります
とはどう言う事でしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/03/07 15:05

例えば


x+3が
4に限りなく近づいて
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値を
x+3=4+s
とすると
x=1+s
となるのだけれども
そのsにたいして
a=|s|>0
x≠1に対して
f(x)={|(x-1)^2-a^2|+4x-4+a^2}/(x-1)

関数f(x)を定義すると

|x-1|≧aの時
f(x)
={(x-1)^2-a^2+4x-4+a^2}/(x-1)
=(x^2-2x+1-a^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(x^2+2x-3)/(x-1)
=(x+3)(x-1)/(x-1)
=x+3
だから
f(1+a)=4+a=4+|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だけれども

|x-1|<aの時
f(x)
=(a^2-(x-1)^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-x^2+2x-1+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-5+6x-x^2)/(x-1)
={a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

lim_{x→1-0}f(x)
=lim_{x→1-0}{a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

↓lim_{x→1-0}{a^2+4-(x-3)^2}=a^2+4-(1-3)^2=a^2+4-2^2=a^2
↓分子はa^2に近づき
↓lim_{x→1-0}(x-1)=-0
↓分母は負方向から0に近づくから

=-∞
となる

lim_{x→1+0}f(x)
=lim_{x→1+0}{a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

↓lim_{x→1+0}{a^2+4-(x-3)^2}=a^2+4-(1-3)^2=a^2+4-2^2=a^2
↓分子はa^2に近づき
↓lim_{x→1+0}(x-1)=+0
↓分母は正方向から0に近づくから

=∞
となるから

xを1よりも小さい方向から1へ近づけるとf(x)は-∞に発散するから
lim_{x→1-0}f(x)=-∞
xを1よりも大きい方向から1へ近づけるとf(x)は∞に発散するから
lim_{x→1+0}f(x)=∞
となるから
xを1へ近づけるとf(x)は±∞に発散するからf(x)は4には収束しないから
lim_{x→1}f(x)=±∞≠4
だから

f(1+a)=4+a=4+|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから
という理由だけで
lim_{x→1}f(x)=4
としてしまうと
実際には
lim_{x→1}f(x)=±∞≠4
となる事もあるのだから

もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから

lim_{x→1}f(x)=4
としているのではありません
間違いです

x≠1に対して
f(x)={|(x-1)^2-a^2|+4x-4+a^2}/(x-1)
とすると
x→1の時
|f(x)|は4には収束しません
|f(x)|は∞に発散します

全てのK>0に対して
δ=min(a^2/(K+5),a,1)
0<|x-1|<δ
とすると
|x-1|<δ≦1
だから
|x-1|<1
だから
-1<x-1<1
0<x<2
-x<0
1-x<1
5-x<5
|5-x|<5
-5<-|5-x|

0<|x-1|<δ≦a^2/(K+5)
だから
|x-1|<a^2/(K+5)
↓両辺に(K+5)/|x-1|をかけると
K+5<a^2/|x-1|

0<|x-1|<δ≦a
だから
|x-1|<a
だから

|f(x)|
=|a^2+4-(x-3)^2|/|x-1|
=|a^2-x^2+6x-5|/|x-1|
=|a^2+(x-1)(5-x)|/|x-1|
=|5-x+{a^2/(x-1)}|
≧|a^2/(x-1)|-|5-x|
↓-|5-x|>-5だから
>a^2/|x-1|-5
↓a^2/|x-1|>K+5だから
>K+5-5
=K

だから

lim_{x→1}|f(x)|=∞≠4
となる
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この回答へのお礼

全てのK>0に対して
δ=min(a^2/(K+5),a,1)
0<|x-1|<δ
とすると
|x-1|<δ≦1
だから
|x-1|<1
だから
-1<x-1<1
0<x<2
-x<0
1-x<1
5-x<5
|5-x|<5
-5<-|5-x|

0<|x-1|<δ≦a^2/(K+5)
だから
|x-1|<a^2/(K+5)
↓両辺に(K+5)/|x-1|をかけると
K+5<a^2/|x-1|

0<|x-1|<δ≦a
だから
|x-1|<a
だから

|f(x)|
=|a^2+4-(x-3)^2|/|x-1|
=|a^2-x^2+6x-5|/|x-1|
=|a^2+(x-1)(5-x)|/|x-1|
=|5-x+{a^2/(x-1)}|
≧|a^2/(x-1)|-|5-x|
↓-|5-x|>-5だから
>a^2/|x-1|-5
↓a^2/|x-1|>K+5だから
>K+5-5
=K

だから

lim_{x→1}|f(x)|=∞≠4
となる
ここをもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。一体どう言う時に4に収束するのでしょうか?

お礼日時:2021/03/07 18:11

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