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なぜ、z-aはrではなく、re^iθなのでしょうか?
図を描いてみましたがイマイチわかりません。

「なぜ、z-aはrではなく、re^iθなの」の質問画像
gooドクター

A 回答 (4件)

>なぜ、z-aはrではなく、re^iθなのでしょうか?


z、aは複素数、rは実数なのでは?

rも複素数ならば r は z-a ですよね
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z, a は複素平面上の複素数です。

ということは、
実二次の位置ベクトルだと思ってもいい。
z-a は、ベクトルで書けば (r cosθ, r sinθ) なので
複素数で書けば (r cosθ)+(r sinθ)i です。
r は、z-a の長さ |z-a| であって、z-a そのものではありません。
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まず、図の意味から


縦軸が虚軸(虚数を意味する)、横軸が実軸(実数を意味する)として
虚数aが
a=s+itと表せるとき
aの実部sと虚部tを見て
図上で座標が(s,t)である位置に打点したものが aで表された点の位置です!
(aの点は原点から右にsだけ移動して、真上にtだけ移動したに位置している!)
同様にして
z=u+ivとすればzの点の座標は(u,v)

で、一旦図から離れて純粋な式変形だけを考える
虚数同士の引き算を行い
R=z-aとすると
z-a=(u+iv)-(s+it)
=(u-s)+i(v-t)なんで
R=(u-s)+i(v-t)
ここでRの実部、虚部について
u-s=rcosθ、v-t=rsinθとすると(ただしθはRの偏角 図の直角三角形の斜辺と横軸のなす角度)
R=rcosθ+irsinθ
この式について図と連携させれば
R=z-a=(u-s)+i(v-t)=rcosθ+irsinθ
なんで、zとaの差である虚数Rについて、
R=z-aの実数部の差(横軸をx軸とすれば、zとaの点のx座標の差)は
zとaの実部の差=u-s=直角三角形の底辺の長さ=rcosθ
ですよね
同様にして 
R=z-aの虚数部の差(たて軸をy軸とすればy座標の差)は
zとaの虚部の差=v-t=直角三角形の高さ=rsinθ
です
このとき三平方の定理などにより 
直角三角形の斜辺の長さ=√(底辺²+高さ²)
=√{(rcosθ)²+(rsinθ)²}
=r
このことから、rとは図上(複素数平面上)における
zで表される点とaで表される点の距離(斜辺の長さ)のことなんです
お気づきの通り、距離(斜辺の長さ)だけを表すrは 横軸との角度θ(偏角θ)の情報を含んでいないんです
つまり rとRの関係は
r=|R|ということ
Rには偏角θの情報が含まれるが、rにはθの情報が含まれていない
ということは
z-a=r=|R|ではないですよね(z-a≠r=|R|)
もし、z-a=rだとするとこの式の左辺はRに相当で偏角の情報を含む
右辺は偏角の情報が抜けている、もしくは偏角がθではなくて0という意味になってしまうので矛盾なんです

ということで
オイラーの公式:cosθ+isinθ=e^iθ
を用いて
虚数Rの偏角をθ、
|R|=r
とすれば
z-a=R
=|R|(cosθ+isinθ)
=r(cosθ+isinθ)
=re^iθ
という事ですがRを用いれば
=|R|e^iθ
という意味なんです
図のrと虚数z,aの差Rは別物ということがポイントなんです
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オイラーの公式の証明を見て下さい。

r=1で考えてます。
指数関数 eix, 三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開して
e^ix=cosx+sinxiとなります。
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