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すごくすごく基本的であろう質問をします。

一次方程式は必ず解を持ちますか?
二次方程式とか三次方程式とかは、グラフにしてみた時にx軸との共有点が解ですよね。
一次方程式では傾きさえあれば必ず交わりますが、
x軸と平行で、かつy≠0の場合は交わりません。(例えばy=3とか)
この場合は解を持たない。ということでしょうか?
そもそも定まるx(?)が存在しないので、
解を持たないとかの話では無いのでしょうか?あの式は一次方程式ではないのでしょうか?
同様にして、y=0の直線はx軸との共通点しかないですが(語彙力なくて申し訳ないです)あれは解とは違いますか?

質問者からの補足コメント

  • というか、y=a(定数)のようなグラフのxは何を示してしるんでしたっけ、、、

      補足日時:2021/03/06 17:03
  • ごめんなさい、方程式というよりかは関数です、、

      補足日時:2021/03/06 17:05
  • ん、まてよ、x軸との共有点が解という訳ではないな?!それはY=0 の時の話だな…?!

      補足日時:2021/03/06 17:12
  • どう思う?

    少し話を変えます…
    直線y(y=とある定数)との共有点の個数により、関数の実数解の個数がわかると思います。
    例えば、
    4次関数▶️0、2、3、4個の4パターン
    3次関数▶️1、2、3個の3パターン
    2次関数▶️0、1、2個の3パターン

    一次関数の時はどうなるんでしょうか?
    実数解の個数は必ず1個の1パターンですか?

    質問の所に書いたのと同じように、
    傾きがあれば、とある定数yの直線との共有点は1つですが、傾きがなければ共有点は直線=無数(?)となるじゃないですか

      補足日時:2021/03/06 17:26
  • ほんと分かりづらくてすみません、、
    こんな感じの事が言いたいです、、一番下のやつです

    「すごくすごく基本的であろう質問をします。」の補足画像5
      補足日時:2021/03/06 17:33
  • どう思う?

    えっと、今調べたところ
    y=0x + a = a (aは定数)の様な形の関数は、一次関数ではなくて0次関数、
    もっとまとめて、定数関数 というらしいですね。

    つまり 定数関数の時は次数がないので解の個数を考えず、
    一次関数の時は必ず実数解の個数は1個 の1通り。
    ってことですね?

    毎度1人でワーワー言っててほんとすみません、、
    理解できました、一応上記の考えで合っているか確認いただけると嬉しいです、、

      補足日時:2021/03/06 17:41
gooドクター

A 回答 (5件)

[1] xを含む式をf(x)とします。

例えば
  f(x) = x^2 - x
みたいなやつ。で、方程式
  f(x)=0
はxに関する方程式です。この式を満たすようなxを解というんでした。そこでこの方程式の解の集合をXとすると、
  X = { x | f(x)=0}
ですね。
 例えば
  f(x) = x^2 - x
の場合なら、方程式
  f(x) = 0
の解の集合は
  X = { x | x^2 - x=0} = {0,1}
であり、また
  f(x) = 1
の場合なら、方程式
  f(x) = 0
の解の集合は
  X = { x | 1=0}
ですから、どんなxを持ってきても1=0は偽なので、Xは空集合(つまり「解なし」)である。また、
  f(x) = 0
の場合なら、方程式
  f(x) = 0
の解の集合は
  X = { x | 0=0}
ですから、どんなxを持ってきても0=0は真なので、Xは「全部(の実数)」である。

[2] 今度はg(x,y)をxとyを含む関数だとします。すると方程式
  g(x,y) = 0
はxとyに関する方程式です。この式を満たすような(x,y)を解というんでした。そこでこの方程式の解の集合をGとすると、
  G = {(x,y) | g(x,y)=0}
ですね。
 さて、xy直交座標系の上にGの要素(x,y)をプロットしたものが「方程式g(x,y)=0のグラフ」です。

[3] 特に、
  g(x,y) = f(x)-y
である場合には、方程式
  g(x,y)=0
は方程式
  y=f(x)
と同じです。なのでこれはxとyに関する方程式です。この方程式の解の集合をFとすると、
  F = {(x,y) | y=f(x)}
であり、xy直交座標系の上にFの要素(x,y)をプロットしたものが「方程式y=f(x)のグラフ」です。

[4] じゃあ、「グラフがx軸と交わるところ」とかやってるのは何なのかというと、例えば
  f(x) = x^2 - x
の場合に、方程式
  y = f(x)
の解の集合{(x,y) | y=x^2 - x}と、方程式
  y = 0
の解の集合{(x,y) | y=0}(これは「x軸上の全ての点」の集合です)を考えて、両者が重なるところ、つまり
  S = {(x,y) | y=x^2 - x}∩{(x,y) | y=0}
すなわち
  S = {(x,y) | y=x^2 - xかつy=0}
を考えている、ということなんです。当然、
  S = {(x,0) | x^2 - x = 0}
となるわけ。
 以上を言い換えれば
  f(x) = 0
と言う方程式をわざわざ
  y = f(x)
  y = 0
という連立方程式に書き換えて考えているのが、「グラフがx軸と交わるところ」の考え方だ、ってことです。
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ちなみにy=kと言う式もyについてはれっきとした一次方程式です。

そして解はもちろんy=kです。
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一次方程式の一般的な形はa≠0として



ax+b=0

となります。これを変形すれば

x=-b/a

となりますが、これが言わば一次方程式の解の公式です。つまり一次方程式は必ずこの形の解を持つ事になります。


既にお気付きのようですが、a=0の場合は一次方程式の定義に合わないので考える必要はありません。同様にy=kと言う式は(xについては)一次方程式ではありません。


ちなみに「n次方程式はn個の解を持つ」と言う事が証明されているそうです。二次方程式が(重解を含めて)二個の解を持つのはその一例です。
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1次方程式とは、2x+1=3やx-3=0と言うような、文字(xなど)の最高次数が「1」である方程式のことです。



だから、y=1といった式は直線の式の一部であることは間違いないのですが、「1次方程式」ではありません。だから、解も何もないわけです。
解というのは変数(一般的にはxですよね)に代入できる数字を探すわけですから。グラフとはまた意味が違います。

二次方程式とか三次方程式とかは、グラフにしてみた時にx軸との共有点が解ですよ。正確に言えば「実数解」です。
べつに(関数)=0でなくてもいいわけですから、(x²+x=1とかなっててもx²+x-1=0になっていれば同じです)グラフでも考えられます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!!

方程式(式=0)の実数解は、x軸との共有点、
関数(y=f(x))の実数解は、yのとる値の範囲によって変わってくる。

という解釈であっていますか??

お礼日時:2021/03/06 17:51

y=3の場合、これを”0x+3“と解釈すると


「0x+3=0を満たすようなxは存在しない」
となり、主さんの推測通りです。
また、特にx軸上の直線y=0(=0x+0)の場合、
「0x+0=0を満たすようなxは無数にある」
ことになります。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます!!!

お礼日時:2021/03/06 17:48

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