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予習で数学2の二項定理を勉強しているのですが、どういう原理であの公式が成り立ってるのですか?

gooドクター

A 回答 (3件)

簡単な例を挙げると、


(a+b)^4=aaaaが4個
+aaab+aaba+abaa+baaa 4個(これは、a3個とb1個の組み   
      合わせと同じなので ₄C₁)
+aabb+abab+abba+baba+bbaa+baab 6個(これは、a2個  
      とb2個の組み合わせと同じなので ₄C₂)
+abbb+babb+bbab+bbba 4個(これは、a1個とb3個の組   
      み合わせと同じなので ₄C₃)
+bbbbが4個
となります。
  aaaaが4個と bbbbが4個ありますが、区別できないので1個づつにし
  ます。そうするとaaaaの係数は₄C₀、bbbbの係数は₄C₄となって、
(a+b)^4=₄C₀a^4+₄C₁a^3*b+₄C₂a^2b^2+₄C₃a*b^3+₄C₄b^4
としています。
こうすると、なんか数学っぽくなりますね。とさ
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この回答へのお礼

例えかたが上手いですね笑 わかりやすいです 回答ありがとうございます!!

お礼日時:2021/03/07 16:40

例えば


(a+b)(c+d)(e+f)を展開するときは
左のカッコからaを選んで、真ん中からcを選んで、右からはeを選んで掛け算して
aceという項があらわれます
他にも
左のカッコからaを選んで、真ん中からdを選んで、右からはeを選んで掛け算して
adeなどという項も現れます
これが~乗の展開の仕組みですよね

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)の展開の仕方も、基本はこの考え方と同じです
これを展開すると
左のカッコからaを選んで、真ん中からaを選んで、右からはaを選んで掛け算してa³という項が現れます
3つあるカッコから、3つともaを選んで掛け算しているので 
そのような掛け算の仕方は3C3通り
ゆえに
3C3a³(=a³) という項が現れると考えるのです

次にa²項
左のカッコからaを選んで、真ん中からaを選んで、右からはbを選んで掛け算してa²bができます
左のカッコからaを選んで、真ん中からbを選んで、右からはaを選んで掛け算しても
左のカッコかbを選んで、真ん中からaを選んで、右からはaを選んで掛け算しても
おのおのa²bができるので
合計で 3a²bという項ができるわけです
このa²bができる掛け算は全部で3通りという判断は
「3つのカッコの中から、aを選ぶカッコ2個の決め方が3C2通りある」
という考え方で
掛け算もa2ことb1この掛け算も、3C2通り存在
a²bは全部で3C2個できる
つまり3C2a²b=(3a²b)が登場する
と判断するわけです

ab²などについても同様です

(a+b)⁴や(a+b)⁵などの展開でも考え方は同じで
例えば(a+b)⁵でa²b³となるような掛け算は
5つあるカッコのうち2か所からはaを選ぶので
5C2通り
ゆえに、5C2a²b³という係数になることが分かるのです

もし(a+b)のn乗でもやはり展開に対する考え方は同じで
例えば
a^(n-2)・b²になる掛け算は
nこのカッコからaを掛け算するカッコを(n-2)こ選ぶことになるので
nC(n-2)・a^(n-2)・b²となるわけです
これが2項定理の考え方
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この回答へのお礼

なるほど… 理解すれば公式の文字もさほど難しくは見えませんね… 回答ありがとうございます!!

お礼日時:2021/03/07 14:38

成り立つというか、二項定理って


二項係数の定義式なんですよ。
そう決めたというだけ。
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この回答へのお礼

あぁ… そうだったんですね!笑
回答ありがとうございます!!

お礼日時:2021/03/07 12:54

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