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最後に発生した日が60日前の事柄が、
今後(今日を起点に)14日間以内に発生する確率の求め方を探しています。

14/60*100
=23.3%

と思っているのですが、
どなたか統計的に計算する計算式を教えていただければ幸いです。

よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • ご回答誠にありがとうございます。

    質問内容に不足がございました。
    大変申し訳ございません。

    2018年4月1日から始まり(2018年4月1日以前の発生はありえない)、
    現象Aが直近で発生したのは60日前、という情報しかわかりません。
    (60日以前に現象Aが発生した日(頻度)が分からない)

    この現象Aが今後14日間以内に発生する確率を求めたいのですが、
    この前提ですとそもそも計算することすらできないのでしょうか?

    ・現象Aが直近で発生したのは60日前(3月8日を起点とすると1月7日)
    ・60日前(1月7日)以前に現象Aが発生した日、回数、頻度などは不明
    ・現象Aが発生する確率が誕生したのは2018年4月1日から(それ以前の発生はありえない)
    ・直近で60日前に発生した現象Aが今日を起点に14日間以内に発生する確率を知りたい(3月8日~3月21日までに現象Aが発生する確率を知りたい)

      補足日時:2021/03/08 16:02
  • ご回答誠にありがとうございます。

    考えが甘かったです。

    今回の例で言えば、直近発生日が60日前なのですが、
    「平均で60日に1回起こる」と仮定した場合、
    今後14日間以内に発生する確率を求めることはできますか?

    GoogleスプレッドシートまたはExcelにて計算式を入れたいのですが、
    ご投稿いただきました

     P(60≦X≦74) = ∫[60→74](1/100)e^(-x/100)dx

    をGoogleスプレッドシートまたはExcelで再現することは可能でしょうか?

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/08 16:08
  • 仮に「平均で60日に1回」起こる現象Aが今後14日間以内に起こる確率を
    GoogleスプレッドシートやExcelで求める計算式は

    =EXPON.DIST(14/60,1,TRUE)

    となりますでしょうか?
    (全く見当外れなものになってしまっていますでしょうか?)

      補足日時:2021/03/08 16:55
  • ご回答ありがとうございます。
    入れ違いになってしまったようで申し訳ございませんでした。

    とてもご丁寧な解説ありがとうございます。
    なるほど、まず0~74日の累積確率を出して、そこから0~60日の累積確率を引くことで、
    60~74日の確率を出すわけですね。

    考え方(求め方)も教えていただいたことで、
    とても勉強になります。

    誠にありがとうございます。

    当初私が考えていた計算式だと、
    直近60日前に発生した現象Aが14日間以内に発生する確率は
    =14/60*100
    =23.3%
    という理解でいました。

    しかし、今回ご教示いただいた数式ですと、
    平均60日間に1回発生する現象Aが今後14日間以内に発生する確率は
    7.66%である、という答えとなりました。

    このような理解でよろしいでしょうか?

    ご多忙の中恐れ入りますが、
    引き続きよろしくお願い致します。

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/08 19:22
gooドクター

A 回答 (7件)

興味深い問題です。


私からも、ひとつ提案させて下さい。

これは、一様分布の上限推定問題の変形ですね。

参考となる「一様分布の上限推定問題」とは「ドイツ戦車問題」という有名な問題です。「」内の言葉でググれば解説があります。UMVU推定(一様最小分散不偏推定)という方法を使います。ただし、これでは確率は求まりません。でも、上限推定値を与えます。

今回の問題は、60日を超えて74日に至るまでの累積確率を求めよ、という問題ですね。確率を求める点がドイツ戦車問題とは異なります。最大値の確率は、翌日61日目である確率が一番高く、日を重ねるごとに徐々に0に漸近していく曲線になります。60日を超えても一様と考えるのは間違いです。指数減衰モデルを想定されているご回答者もみえますが、これは当たらずとも遠からずの解になります(リンクを参照)。

このような確率の推定問題は、シュプリンガーから出ている「Rで学ぶベイズ統計学入門」に「ある町で観測された行き交うタクシーの車体番号から、ある町のタクシーが150台を超える確率を求めよ」という類似問題があります。今回の問題では、その母集団の上限が60を超え74以下である累積確率を求めよ、と変形すれば良いでしょう。

計算はベイズの定理を使います。ただし、ひとつ仮定が必要です。「最悪でも上限は○○を超えないという確信がある」というものです。これは上記のUMVU推定値を使えば良いでしょう。あとは手順に沿って計算するだけです。

以下のサイトに計算方法が載っています。
https://qiita.com/sakaikosuke/items/0bbfc5f5d8e7 …

エクセルでも計算可能です。
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No.5 です。

「No.5 の補足」について。

>平均60日間に1回発生する現象Aが今後14日間以内に発生する確率は
>7.66%である、という答えとなりました。
>このような理解でよろしいでしょうか?

「今後14日間」というよりは「前回発生から60~74日に発生する確率は 7.66%」ということです。
どの16日間をとってもその確率になるわけではありません。
もし「発生直後の14日間」であれば違った値になります。それはお示しのエクセル関数で計算してみれば分かります。
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No.4 です。

「補足・その3」と入れ違いになったみたいですね。

そのエクセル関数を使うのであれば

求めたいもの = EXPON.DIST(74,0.016667,true) - EXPON.DIST(60,0.016667,true)

ということになります。
2つ目の引数「0.016667」は「確率 1/60」のことです。分数では設定できないみたいですね。
この関数は「0~第1引数までの累積確率を求める関数」なので、「0~74日の累積確率」から「0~60日の累積確率」を差し引くことで「60~74日の確率」を求めることになります。
この回答への補足あり
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No.3 です。

「補足」に書かれたことについて。

「平均で60日に1回起こる」と仮定した場合、確率が p=1/60 とみなせますから、

 P(60≦X≦74) = ∫[60→74](1/60)e^(-x/60)dx
= (1/60){-60[e^(-74/60) - e^(-60/60)]}
= 0.07659・・・
≒ 0.077

ぐらいかな。

>GoogleスプレッドシートまたはExcelで再現することは可能でしょうか?

それってどうやるのか分かりませんが、ふつうに定積分すればよいだけです。

「平均で60日に1回起こる」と仮定した場合、0~60日までに起こる確率は
 P(0≦X≦60) = ∫[0→60](1/60)e^(-x/60)dx
= (1/60){-60[e^(-60/60) - e^(-0/60)]}
= -[e^(-1) - 1]
= 0.6321・・・
≒ 0.632
で「63.2%」です。

そして、60~74日の間に起こる確率が「7.7%」。

74日以降に起こる確率が
 P(74≦X) = ∫[74→∞](1/60)e^(-x/60)dx
= (1/60){-60[e^(-∞/60) - e^(-74/60)]}
= -[0 - e^(-74/60)]
= e^(-74/60)
= 0.2913・・・
≒ 0.291
で「29.1%」です。

当たり前ですが、全部合わせれば100%です。
・0~60日に起こる確率:63.2%
・60~74日に起こる確率:7.7%
・74日以降に起こる確率:29.1%
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そんな単純には行かないですよ。



100年に1回程度の確率で発生する首都直下地震が、関東大震災以降約100年起こっていないので「そろそろ起こってもおかしくはない」と考えるのがふつうですよね?
あなたの論法で行くと、「100年も起こっていないのだから、もう起こらないんじゃない?」という「きわめて楽観的」な「正常性バイアス」の極致になっちゃいますよ。

非常の確率の低い事象(巨大地震の発生とか、放射性原子核の崩壊とか)が、一定期間内に何回起こるかの分布は「ポアソン分布」、次に起こるまでに時間の分布は「指数分布」に従うといわれています。

↓ ポアソン分布
https://bellcurve.jp/statistics/course/6984.html

↓ 指数分布
https://bellcurve.jp/statistics/course/8009.html

お示しの質問は、「確率 p で発生することが分かっている事象」が、1回発生したのちに60~74日の間に発生する確率は? ということなのでしょう。
もし、その事象が確率的に発生するものでなければ、待てど暮らせど二度と起こることはないかもしれませんので。
ということで、「確率 p で発生することが分かっている」という前提なら、指数分布を使うのがよいのでしょうね。
ただし、お示しの例だでは「これまで60日間発生していない」というだけで発生確率が与えられていないので、これでは計算できませんね。

たとえば「平均で100日に1回起こる」ということが分かって入れば p=1/100 なので

 P(60≦X≦74) = ∫[60→74](1/100)e^(-x/100)dx

などで求められると思います。
この回答への補足あり
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確率には過去の記憶を持っていないので、過去何が起きていようが、これから先の確率には影響しません。



何日に1回発生するかのデータが無い以上、計算が出来る事では有りません。
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特に統計データがないのであれば、



①14日以内に1回だけ発生する確率
 1/2

②14日以内に1回以上発生する確率
 全ての組み合わせは 2^14
  →(2^7)^2=128✖128=16384
 で、1回も起きない組合せは 1/16384
 なので、 (16384-1)/16384=99.993896%
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