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数学の質問です。"次の連立方程式を解け"という問題で、x+y=5, x∧2+y∧2=17 という2式が与えられています。解答は写真のようになってました。

下から2行目で、「③より、x=1のとき…」と書いてありますが、なぜ③を利用するのでしょうか?

なぜ②だとダメなんですか…?②だと、x=1 だとしてもy=-4,4 という2パターンが出てきてしまいます。x=4の場合も考えると、xとyのパターンは4つですよね?

①③に代入すると2パターンの答え、②に代入すると1パターンの答え。なんか違和感があります。どこに代入するかによって答えが変わるというのが…

解説よろしくお願いします!

「数学の質問です。"次の連立方程式を解け"」の質問画像
gooドクター

A 回答 (10件)

違和感あるなら 図で考えてみる


①は直線、②は円の方程式だから
①②の連立方程式の解は、図上では直線と円の交点の座標ということになる

で、x=1,4と求まったが、その意味は交点のx座標が1か4であるということ
円②上の点でx座標が1である点は(1,4)と(1,-4)の2か所ある
(どうやって求めたかというと ②にx=1を代入してyを計算した結果)
このうち直線①が通っていないほうは(1,-4)

同様に
円②上の点でx座標が4である点は(4,1)と(4,-1)の2か所ある
(これも②にx=4で求めた)
このうち直線①が通っていないほうは(4,-1)

ゆえに ①②の交点は(1,4)(4,1)とわかるというわけだが・・・

このように見てくると、②に代入ということをしてしまうと
①②の交点(解)の候補が4個出てきてしまうが
図を見れば実際の交点は2個で
直線が通っていない点の座標(交点でない点)も
余分に求めてしまう事が分かるはず
となると、4候補から正しい2つに絞り込む確認作業が必要
どの点とどの点は直線上にないのか(つまりは円と直線の交点ではないのか)
再確認の必要があり手間がかかることが分かるはず


対して①に代入だと
x=1代入で1+y=5より y=4だけが求まる(先ほどと比較して(1,4)だけがもとまる)
同様に x=4代入では y=1(4,1)だけが求まる
図から交点2つだから
もとめた2つ(1,4)と(4,1)が交点だと確定してしまう
ということは先ほどのような 交点候補を絞り込む手間が必要ない!

結論として、確認作業をすれば②代入でもよいんだが
手間の少ない①代入を採用したほうがスマート!

なら②でやって「こいつなに遠回しなことやっているんだ」と思われるより、①代入で省エネやった方がいいでしょ!!
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(χ+y)²=5²


χ²+2χy+y²=25
χ²+y²=25-2χy …①
χ²+y²=17    …②
①-②
25-17-2χy=0
8-2χy=0
2χy=8
χy=4      …③
χ=4/y      …④
χ+y=5      …⑤
④を ⑤に、
代入、
y+4/y=5
4y+y=20
5y=20
y=4
yを ⑤に、
代入、
χ+4=5
χ=5-4
χ=1
ならば χ=1、y=4…⑥


又、

③より、
y=4/χ       …④'
④'を ⑤に、
代入、
χ+4/χ=5
4χ+χ=20
5χ=20
χ=20/5
χ=4
χを ⑤に、
代入、
4+y=5
y=5-4
y=1

ならば χ=4、y=1…⑥'

⑥、⑥'、
より、
∴ χ=1、y=4 又はχ=4、y=1

何ら 変ではないよ?
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別の考え方もあります。


x+y=5 ・・・①
x²+y²=17 ・・・②
① を二乗します (x+y)²=25 → x²+y²+2xy=25 ・・・③
③ に ② を代入すると 17+2xy=25 → xy=4 ・・・④
① と ④ から、足して 5 、掛けて 4 になるのは 1 と 4 。
従って (x, y)=(1, 4) or (4, 1) 。
画像と同じ計算をしている事になりますが、
(-4) が出てくる余地はありませんね。
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② から 求めた答えは、①(又は③) も満たすか 確認が必要です。


これは、連立方程式ですから。
② で求めた答えを ② に代入しても
何の意味も ありません。
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>なぜ②だとダメなんですか…?②だと、x=1 だとしてもy=-4,4 という2パターンが出てきてしまいます。

x=4の場合も考えると、xとyのパターンは4つですよね?

「x=1 だとしてもy=-4,4 という2パターンが出てきてしまいます」って、「① x + y = 5」を満たすのはどの組み合わせ?

>x=4の場合も考えると、xとyのパターンは4つですよね?

x=4の場合、「① x + y = 5」を満たす y は1つだけです。
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あなたのやり方なら、①はガン無視だから


②から解を百万個でも千万個でも
得られるよね。

①と②を連立しろっていう
問題の趣旨を無視してます。0点
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二次方程式では解が2つ出てきますが、そのどちらもが正解である保証はありません。

条件に当てはまるかどうか、を確かめなければなりません。

x=1を②に代入すると、y=-4,4となりますが、これの意味はy=-4 and 4ではなくy=-4 or 4なのです。どちらが当てはまるのか①や③に当てはめて確かめなければなりません。(この場合、y=-4は成り立ちません。)
二次方程式ん使ったために、③を②に代入し、さらに①か③に代入して確かめるなどの無駄な手順を増やしてしまったのです。
この様な無駄を省くために、二次方程式を避けて一次方程式である①や③を用いたのだと思います。
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どっちへ代入するかじゃなくて、


両方へ代入すればいいんですよ。
両方成立する x, y だけが解です。
だって、連立方程式なんですから。
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②に代入したものと、③が同値では無いから。


②に代入すると、余計なものまでが解として求まるから、①へ代入して余計なものを捨てないといけない。
③は余計なものが入っていない。
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②に代入して導き出した答えって、①を満たすの?



最終的に求めるものは、①、②を同時に満たす解でしょ?
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