この数学の問題を教えてください xy平面上で連立不等式2x+y≧-8, x-y≦2, y≦2 の表す

この数学の問題を教えてください

xy平面上で連立不等式2x+y≧-8, x-y≦2, y≦2 の表す領域をDとする。

円x^2+2x+y^2=k上の全ての点が領域Dに含まれるような定数kについて、そのkの最大値を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/10 05:34

x²+2x+y²=k

x²+2x+1+y²=k+1
(x+1)²+y²=√(k+1)²
中心(-1 , 0)、半径√(k+1) の円です。

領域Dを囲む3本の直線の式は、
2x+y+8=0……①
x-y-2=0……②
y=2……③

円の中心と3本の直線との距離をそれぞれ求めます。

点と直線と距離の公式
点 P(x₁ , y₁) と直線 ax+by+c=0 の距離 d は、
d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)

①との距離は、
d=|2×(-1)+1×0+8|/√(2²+1²)=6/√5
②との距離は、
d=|1×(-1)+(-1)×0-2|/√{1²+(-1)²}=3/√2
③との距離はグラフより２です。

３つの距離の大小関係を、それぞれを2乗して比べます。
(6/√5)²=36/5=7.2
(3/√2)²=9/2=4.5
2²=4
これより、
6/√5 > 3/√2 > 2

よって、円上のすべての点が領域Dに含まれる条件は、円の半径が2以下です。
√(k+1)≦2
k+1≦4
k≦3
したがって、
ｋの最大値は３です。

この回答へのお礼

ご丁寧に教えていただき、ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/11 18:15

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/10 16:12

x²+2x+y²=k → (x+1)²+y²=k+1 で、

中心が (-1, 0) で 半径 √(k+1) の円です。

2x+y≧-8 ・・・①
x-y≦2 ・・・②
y≦2 ・・・③　とします。
Ｄの領域の境目は それぞれの直線とその交点ですよね。
グラフを書いてみると、① と ③ の領域の交点が
円の中心 (=1, 0) と一番離れている事が分かります。
その距離は √(4²+2²)=√20 となります。
つまり これが 円の半径と一緒と云う事です。
(k+1)=20 → ｋ＝19 。
見当違いだったら ごめんなさい。

この回答へのお礼

ご丁寧に教えていただき、ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/11 18:15