
No.25ベストアンサー
- 回答日時:
例)
R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時 f(x)=xsin(1/x)
x=0の時 f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると
自然数nに対して
0<4n-1<4n+1
↓各辺に2/{(4n-1)(4n+1)π}をかけると
0<2/{(4n+1)π}<2/{(4n-1)π}
2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}の時
2/{(4n+1)π}≦x
↓両辺に{(4n+1)π}/(2x)をかけると
1/x≦{(4n+1)π}/2
1/x≦2nπ+(π/2)
x≦2/{(4n-1)π}
↓両辺に{(4n-1)π}/(2x)をかけると
{(4n-1)π}/2≦1/2
2nπ-(π/2)≦1/x
↓これと1/x≦2nπ+(π/2)から
2nπ-(π/2)≦1/x≦2nπ+(π/2)
↓
sin(2nπ-(π/2))≦sin(1/x)≦sin(2nπ+(π/2))
↓sin(2nπ-(π/2))=-1,sin(2nπ+(π/2))=1だから
-1≦sin(1/x)≦1
↓2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}だから
2/{(4n+1)π}≧xsin(1/x)≧-2/{(4n-1)π}
↓f(x)=xsin(1/x)だから
2/{(4n+1)π}≧f(x)≧2/{(4n-1)π}
2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}の時
2/{(4n+1)π}≧f(x)≧-2/{(4n-1)π}
だから
f(x)
は
f(2/{(4n+1)π})=2/{(4n+1)π}
と
f(2/{(4n-1)π})=-2/{(4n-1)π}
間を
細かく
振動する
No.24
- 回答日時:
例)
R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時 f(x)=xsin(1/x)
x=0の時 f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると
図のように
手書きの場合でなくても
y=f(x)のグラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
…
のように
x=0の近くが∞に細かく振動するからかけません

例えば、どの様な値をxに入れた時に、∞に細かく振動するから書けないのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが、∞に細かく振動するとは、どういう事なのかもご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.21
- 回答日時:
例)
R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時 f(x)=xsin(1/x)
x=0の時 f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると
y=f(x)のグラフのx=0の近くが(綺麗に)かけません
No.19
- 回答日時:
連続の定義
「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味します
「
ε>0を満たすどんなεについても、
δが存在して
|t|<δを満たすどんなtについても
|f(a+t)-f(a)|<ε
である
」
も
「f(x)はx=aで連続である」を意味します
「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味しません間違いです
連続の定義
「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味します
なぜこのようなことが言えるのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.17
- 回答日時:
「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味しません
「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
であるけれども
f(x)はx=aで連続でない
反例)
R=(全実数の集合)とする
fをRからRへの関数(f:R→R)とする
f:R→R
(RからRへの関数f)を
x-aが整数の場合f(x)=0
x-aが整数でない場合f(x)=1
と
(関数f(x)を)定義すると
x=aの時
x-a=0は整数だから
f(a)=f(x)=0
x=a+1の時
x-a=1は整数だから
f(a+1)=f(x)=0
x=a-1の時
x-a=-1は整数だから
f(a-1)=f(x)=0
だから
ε=1
とすると
|f(a+ε)-f(a)|=|f(a+1)-f(a)|
↓f(a+1)=0=f(a)だから
|f(a+ε)-f(a)|=0
|f(a-ε)-f(a)|=|f(a-1)-f(a)|
↓f(a-1)=0=f(a)だから
|f(a-ε)-f(a)|=0
だから
δ>0を満たすどんなδについても、
|f(a+ε)-f(a)|=0<δ
かつ
|f(a-ε)-f(a)|=0<δ
であるから
「δ>0を満たすどんなδについても、1が存在して1>0かつ|f(a+1)-f(a)|=0<δかつ|f(a-1)-f(a)|=0<δである」
けれども
x=aの時
x-a=0は整数だから
f(a)=f(x)=0
だから
f(a)=0
あるε=1/2>0が存在して
すべてのδ>0に対して
x=a+δ/(1+δ)とすると
↓両辺からaを引くと
x-a=δ/(1+δ)
δ/(1+δ)>0だから
x-a>0だから
|x-a|=δ/(1+δ)
1<1+δ
↓両辺にδ/(1+δ)をかけると
δ/(1+δ)<δ
↓|x-a|=δ/(1+δ)だから
|x-a|<δ
δ<1+δ
↓両辺を1+δで割ると
δ/(1+δ)<1
↓x-a=δ/(1+δ)>0だから
0<x-a<1
だから
x-aは整数でないから
f(x)=1
f(a)=0
だから
|f(x)-f(a)|=|1-0|=1≧1/2=ε
だから
あるε=1/2>0が存在して
すべてのδ>0に対して
(|x-a|<δ)かつ(|f(x)-f(a)|≧ε)
となる
x=a+δ/(1+δ)
が存在する
から
不連続となるのです

では、これは、どういう事でしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
連続な場合は
「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
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