εーδ論法について。

関数f（x)が不連続な時、εの条件を厳しくして、δをどれだけ縮めても、εが、その領域に存在しない。とはどういうことでしょうか？εを縮めた時の図を送っていただけないでしょうか？ご教授頂けると幸いです。

No.25 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/14 11:03

例)

R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時　f(x)=xsin(1/x)
x=0の時　f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると

自然数nに対して
0<4n-1<4n+1
↓各辺に2/{(4n-1)(4n+1)π}をかけると
0<2/{(4n+1)π}<2/{(4n-1)π}

2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}の時

2/{(4n+1)π}≦x
↓両辺に{(4n+1)π}/(2x)をかけると
1/x≦{(4n+1)π}/2
1/x≦2nπ+(π/2)

x≦2/{(4n-1)π}
↓両辺に{(4n-1)π}/(2x)をかけると
{(4n-1)π}/2≦1/2
2nπ-(π/2)≦1/x
↓これと1/x≦2nπ+(π/2)から
2nπ-(π/2)≦1/x≦2nπ+(π/2)
↓
sin(2nπ-(π/2))≦sin(1/x)≦sin(2nπ+(π/2))

↓sin(2nπ-(π/2))=-1,sin(2nπ+(π/2))=1だから

-1≦sin(1/x)≦1

↓2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}だから

2/{(4n+1)π}≧xsin(1/x)≧-2/{(4n-1)π}

↓f(x)=xsin(1/x)だから

2/{(4n+1)π}≧f(x)≧2/{(4n-1)π}

2/{(4n+1)π}≦x≦2/{(4n-1)π}の時

2/{(4n+1)π}≧f(x)≧-2/{(4n-1)π}
だから
f(x)
は
f(2/{(4n+1)π})=2/{(4n+1)π}
と
f(2/{(4n-1)π})=-2/{(4n-1)π}
間を
細かく
振動する

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/14 04:14

例)

R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時　f(x)=xsin(1/x)
x=0の時　f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると
図のように
手書きの場合でなくても
y=f(x)のグラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
細かく振動する部分を拡大すると
拡大グラフのx=0の近くが細かく振動するからかけません
…
のように
x=0の近くが∞に細かく振動するからかけません

この回答へのお礼

例えば、どの様な値をxに入れた時に、∞に細かく振動するから書けないのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが、∞に細かく振動するとは、どういう事なのかもご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/14 08:15

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/13 20:50

例)

R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時　f(x)=xsin(1/x)
x=0の時　f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると

手書きの場合でなくても
y=f(x)のグラフのx=0の近くが∞に細かく振動するからかけません

この回答へのお礼

∞に細かく振動するからかけませんとはどういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 21:23

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/13 17:20

はい

No.16の動画は正しいです

例)
R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時　f(x)=xsin(1/x)
x=0の時　f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると

手書きの場合でなくても機械でも
y=f(x)のグラフのx=0の近くが∞に細かく振動するから(綺麗に)かけません

この回答へのお礼

どんな感じのグラフになるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 17:29

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/13 16:44

例)

R=(全実数の集合)
RからRへの関数
f:R→R
を
x≠0の時　f(x)=xsin(1/x)
x=0の時　f(0)=0
と
関数f(x)を定義すると

y=f(x)のグラフのx=0の近くが(綺麗に)かけません

この回答へのお礼

それは、手書きの場合ですよね？それと、No.16の動画は正しいですか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 16:59

No.20 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/13 11:52

mtrajcpさんを許して下さい。

この回答へのお礼

しかしながら、一般の関数f(x)が綺麗にかけるとは限らないとはどういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。No.16の質問に答えて頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 12:09

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/13 10:45

連続の定義

「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味します

「
ε>0を満たすどんなεについても、
δが存在して
|t|<δを満たすどんなtについても
|f(a+t)-f(a)|<ε
である
」
も
「f(x)はx=aで連続である」を意味します

「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味しません間違いです

この回答へのお礼

連続の定義
「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味します
なぜこのようなことが言えるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 11:58

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/13 03:59

連続の定義は

「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
」
という事です

「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
は
「f(x)はx=aで連続である」を意味しません

この回答へのお礼

No.16の動画について一般関数f(x)が綺麗にかけるとは限らないとはどういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/13 12:07

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/12 20:42

「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」

は
「f(x)はx=aで連続である」を意味しません

「δ>0を満たすどんなδについても、εが存在してε>0かつ|f(a+ε)-f(a)|<δかつ|f(a-ε)-f(a)|<δである」
であるけれども
f(x)はx=aで連続でない
反例)
R=(全実数の集合)とする
fをRからRへの関数(f:R→R)とする
f:R→R
(RからRへの関数f)を
x-aが整数の場合f(x)=0
x-aが整数でない場合f(x)=1
と
(関数f(x)を)定義すると

x=aの時
x-a=0は整数だから
f(a)=f(x)=0

x=a+1の時
x-a=1は整数だから
f(a+1)=f(x)=0

x=a-1の時
x-a=-1は整数だから
f(a-1)=f(x)=0

だから
ε=1
とすると

|f(a+ε)-f(a)|=|f(a+1)-f(a)|
↓f(a+1)=0=f(a)だから
|f(a+ε)-f(a)|=0

|f(a-ε)-f(a)|=|f(a-1)-f(a)|
↓f(a-1)=0=f(a)だから
|f(a-ε)-f(a)|=0
だから

δ>0を満たすどんなδについても、

|f(a+ε)-f(a)|=0<δ
かつ
|f(a-ε)-f(a)|=0<δ
であるから
「δ>0を満たすどんなδについても、1が存在して1>0かつ|f(a+1)-f(a)|=0<δかつ|f(a-1)-f(a)|=0<δである」
けれども

x=aの時
x-a=0は整数だから
f(a)=f(x)=0
だから
f(a)=0
あるε=1/2>0が存在して
すべてのδ>0に対して
x=a+δ/(1+δ)とすると
↓両辺からaを引くと
x-a=δ/(1+δ)
δ/(1+δ)>0だから
x-a>0だから
|x-a|=δ/(1+δ)

1<1+δ
↓両辺にδ/(1+δ)をかけると
δ/(1+δ)<δ
↓|x-a|=δ/(1+δ)だから
|x-a|<δ

δ<1+δ
↓両辺を1+δで割ると
δ/(1+δ)<1
↓x-a=δ/(1+δ)>0だから
0<x-a<1
だから
x-aは整数でないから
f(x)=1
f(a)=0
だから
|f(x)-f(a)|=|1-0|=1≧1/2=ε

だから

あるε=1/2>0が存在して
すべてのδ>0に対して
(|x-a|<δ)かつ(|f(x)-f(a)|≧ε)
となる
x=a+δ/(1+δ)
が存在する
から

不連続となるのです

この回答へのお礼

では、これは、どういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
連続な場合は
「
すべてのε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる

お礼日時：2021/03/12 21:03

No.16 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2021/03/12 08:22

yotubeにはεーδの動画がいっぱいあるけど、最初は

　

がいいんじゃないかね。

この回答へのお礼

しかしながら、一般の関数f(x)が綺麗にかけるとは限らないとはどういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/12 20:33