教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

線形代数についての質問です。
P,Qを射影とします。このとき、
PQ=P ⇔ QP=P
を示してください。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。

    「どう」とはどういうことでしょうか?

      補足日時:2021/03/11 01:13
gooドクター

A 回答 (8件)

No.4へのコメントについて。



正射影だからこそ成り立つ話だということを、です。だからPはPの像の部分空間に直交する成分を削除する。Qも同じ。すると、Qを追加しても変化しないということから、両者の部分空間の包含関係が直ちに従う。
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「そのようなP、QについてはPQ=P⇔QP=Pが成り立つことが確認できます。

」の「そのような」って, 「どのような」なの?

#3 の P, Q で成り立つことをどうやって確認したんですか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
P =
1 0
1 0

Q =
1 0
0 0
に対して
PQ≠PかつQP≠PなのでPQ=P⇔QP=Pです。お分かりいただけましたでしょうか?

お礼日時:2021/03/12 07:31

m≧n≧k


R^m⊃R^n⊃R^k
QをR^mからR^nへの射影
PをR^mからR^kへの射影
とすると

PQ=P
QP=P

例)

P
=
(1,0,0)
(0,0,0)
(0,0,0)

Q
=
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,0)

とすると

PQ
=
(1,0,0)(1,0,0)
(0,0,0)(0,1,0)
(0,0,0)(0,0,0)
=
(1,0,0)
(0,0,0)
(0,0,0)
=
P

QP
=
(1,0,0)(1,0,0)
(0,1,0)(0,0,0)
(0,0,0)(0,0,0)
=
(1,0,0)
(0,0,0)
(0,0,0)
=
P
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PQ=P ⇔ QP=P


が成り立つかどうか確かめてみろ, ってことだろう.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そのようなP、QについてはPQ=P⇔QP=Pが成り立つことが確認できます。

お礼日時:2021/03/11 20:26

No.3へのコメントについてです。



> 「どう」とはどういうことでしょうか?

確かめてみてはいかがですか、ということです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
何を確かめるのでしょうか?

お礼日時:2021/03/11 16:03

P =


1 0
1 0

Q =
1 0
0 0
だとどうなのかな?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
「どう」とはどういうことでしょうか?

お礼日時:2021/03/11 01:14

P や Q の固有空間を考えてみる?

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
具体的な証明まで教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2021/03/10 18:22

示すも何も、そんな式は成り立たない。


例えば、
P =
 1 0 0
 0 1 0
 0 0 0,
Q =
 0 0 0
 0 1 0
 0 0 1
のときに、
P,Q はどちらも R^3 から R^2 への正射影だが、
PQ=P も QP=P も成立していない。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そのようなP、QについてはPQ≠PかつQP≠Pなので、PQ=P ⇔ QP=Pは成り立っていませんか?
確認ですが、いま証明していただきたいことは、PQ=P, QP=Pではなく、
PQ=P⇔QP=Pです。

お礼日時:2021/03/10 17:31

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