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aを実数とする.xについての2次方程式x^2+2ax+3a^2-2a-4=0が実数解をもつとする.
(1)aの値を求めよ.
(2)aが(1)で求めた範囲にあるとき,実数解のとりうる値の範囲を求めよ.

質問
(1)は判別式の条件より-1<=a<=2になるのは分かります。
問題は(2)で解説に書いてある「注意」の5行(1で求めたaの範囲を考えなくて良い理由)がよくわからないのでよろしくお願いします。

「数学 2次方程式」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 実際(1)を全く考えていないとい
    うのではなくて、数式でとらえずに
    言葉として?捉えている感じでしょ
    うか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/10 22:48
  • x^2+2xy+3y^2-2y-4=0の解→斜め楕円上の点→xについて実数解を持つようなyの範囲→楕円の上から下→(2)はyがこの範囲(楕円の上から下)を動くときのxのとりうる範囲を求める→yについて実数解を持つようなxの範囲が求めるもの
    までは理解できました。
    最後の「(x,y)∈Eならばy∈Y(x)(かつx∈X(y))である」というのは納得できますが(x,y)∈Eならばという仮定はどこから来たものですか?

      補足日時:2021/03/10 23:15
gooドクター

A 回答 (1件)

aをyと書き換えて


  x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
と書いてみると、これは楕円の方程式だ、とピンと来るんじゃないでしょうか。さて「楕円の方程式」というのは、「この式を満たす実数の対(x,y)をプロットすると、楕円が現れる」ということでした。さらに言い換えれば、ユークリッド平面
  { (x,y) | x∈R ∧ y∈R }
の部分集合
  E = { (x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ x^2+2xy+3y^2-2y-4=0 }
が楕円だということ。(多分、写真の下の左にあるのがその楕円でしょ。)

 ここで、yを定数だと思えば、xだけの方程式であり、「これが実数解を持つような実数yの範囲」とは、すなわち
  X(y) = {x| x∈R ∧ x^2+2xy+3y^2-2y-4=0 }
が∅(空集合)にならないyの範囲
  { y | X(y) ≠ ∅}
であり、これは楕円Eのy軸方向のてっぺんから底まで。
 逆にxを定数だと思えば、yだけの方程式であり、「これが実数解を持つような実数xの範囲」とは、すなわち
  Y(x) = { y | y∈R ∧ x^2+2xy+3y^2-2y-4=0 }
が∅にならないxの範囲
  { x | Y(x) ≠ ∅}
であり、これは楕円Eのx軸方向の左端から右端まで。

 要するにご質問の問題は、楕円Eについて、てっぺんから底までと、左端から右端までを求めている。
 で、「a (=y)の範囲を考えなくて良い」ってのは、「(x,y)∈Eならばy∈Y(x)(かつx∈X(y))である」というアタリマエのことを言ってる訳で。
この回答への補足あり
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