互除法の証明についてです。 a=bq+r---①について dがa,bの公約数であるとき r=a-bq

互除法の証明についてです。
a=bq+r---①について
dがa,bの公約数であるとき
r=a-bqよりdはrの約数である。
よって
dはbとrの公約数でもある。---α

d(上記のdとは異なる値)がb,rの公約数であるとき
①よりdはaの約数でもある。
よって
dはaとbの公約数でもある。---β

以上より、
aとbの公約数とbとrの公約数は一致する。
ゆえに
g.c.d(a,b)=g.c.d(b,r)

このα,βのとこが理解できません。
αについて、dはbとrの公約数でもあるのは理解できるのですが、aとr,の公約数とも言えますよね。
なぜ、その場合を無視しているんでしょうか？
βの部分についても同様です。
他に考えられる場合があるのにその場合を無視しているのは証明するための便宜上としてでしょうか？
それとも、今はbqという項に着目して比較？しているからでしょうか。

質問者からの補足コメント

• この証明は合格る計算と言う参考書に記載してあるものです。
  他の方法での互除法の証明は理解できています。

    補足日時：2021/03/12 23:10

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/12 23:51

数学では

不必要なことはいわない
というのが「スマート」とされています. 逆にいえば
必要なことだけを挙げる
ということでもあります. 今の例だと
d は a と r の公約数
ということで「なにかが示せるのなら書かなければならない」し, 「その事実があってもなんのやくにも立たないのであれば書かない」というのが原則です.

教科書や参考書などでは教育的効果そのたもろもろを考えて
当面不要だけどあとあとのことを考えて言及する
ということもありますが.

なお, それに「気付く」というのはとてもよいことです. ちゃんと理解しているってことだからね.

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/13 09:58

No.2 回答者： hibarichan7 回答日時： 2021/03/12 23:42

a,bの最大公約数とb,rの最大公約数は一致すると言いたいのです。

まず、「最大」公約数であることをしっかり抑えましょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/12 23:16

もちろん α で「d は a と r の公約数」ともいえます. で, それはこの証明においてどこで使っていますか?

この回答へのお礼

証明では、使える情報のみを使うと言う認識でいいのでしょうか？
αの部分をdはaとrの公約数でもある。
とした場合には、
g.c.d(a,b)＝g.c.d(b,r)を証明することはできなさそうなので、そこを明記する必要はないのかなと言うのがモヤモヤします。

お礼日時：2021/03/12 23:22