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なぜ等比数列a(k)=c・r^(k-1)を和の公式にすると
Σ(k=1,n)[a(k)]=c(1-r^n)/(1-r)となるのでしょうか?
またkは整数の時、
e^[i2πk]=1となるとのことですが、なぜ1になるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 等比数列の公式a(k)=c・r^(k-1)の和の公式を導くと
    Σ(k=1,n)[a(k)]=c(1-r^n)/(1-r)となるまでの過程の計算式が知りたいです。

      補足日時:2021/03/13 17:15
gooドクター

A 回答 (3件)

① S=c+cr+cr²+cr³+・・・・+crⁿ⁻¹



①の両辺にrを掛けると
② Sr=cr+cr²+cr³+・・・・+crⁿ

②-①を計算するとS(r-1)=crⁿ-c=c(rⁿ-1)

∴S=c(rⁿ-1)/(r-1) =c(1-rⁿ)/(1-r)
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前半は、重要公式の導出なので、


高校の教科書に必ず載っています。
説明しているサイトも多いですよ。これとか読みやすいかな↓
https://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suur …

後半は、少しレベルが上がります。
複素数範囲の指数関数については、
オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ が重要です。
かならず覚えておきましょう。
公式の導出については、これとか↓
https://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H27ssh/ …

θ = 2πk を代入すると、
e^(i2πk) = cos(2πk) + i sin(2πk)
     = 1 + i 0
     = 1
になります。
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(1-r) Σ(k=1,n)[a(k)] = Σ(k=1,n)[a(k)] - r Σ(k=1,n)[a(k)] = (c + cr + ... + cr^{n-1}) - r(c + cr + ... + cr^{n-1}) = (c + cr + ... + cr^{n-1}) - (cr + cr^2 + ... + cr^n) = c - cr^n



Σ(k=1,n)[a(k)] = (c - cr^n)/(1-r) = c(1-r^n)/(1-r)
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