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画像において、
なぜllf(x)-g(x)llはグラフの距離を表し、
下から三行目の座標(f(x),f(x))からllf(x)ll^2と導け、なおかつ積分できるのでしょうか?

「画像において、 なぜllf(x)-g(x」の質問画像
gooドクター

A 回答 (3件)

いや、内積が (f,g) = ∫[-π,π] f(x)g(x) dx で定義された実関数空間では


写真に書いてあることで正解だよ。

なぜ llf(x)-g(x)ll が関数間(グラフ間じゃないよ)の距離を表すかというと、
一般に内積空間では √(f,f) が f のノルムを成し
そのため √(f-g,f-g) が f と g の間の距離を成すから。

関数空間に入るノルムや距離はこれ一通りではないが、
上記のように定義したものがノルムや距離の公理を満たすことは
内積の公理にもとづいて示すことができる。
あとは ∫[-π,π] f(x)g(x) dx が内積の公理を満たすことを示せば、
話を上記の一般論に乗せることができる。

∫[-π,π] f(x)g(x) dx が収束するためには、関数空間が
任意の f で ∫[-π,π] f(x)f(x) dx が収束するようなものであればいいね。
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> その教科書、今すぐ捨てなされ。

書いてあることがメチャクチャだもん。
 llf(x)ll^2・・・とあるから教科書じゃないと思うよ(笑)。
 ネット上の記事のスクショだろう。

 なんか前にも同じような質問をしていたような気がするけど関数空間の内積についてきちんと理解するためにはフーリエ解析だけではなく線形代数の知識も必要。
 とりあえず「内積空間」 もしくは 「計量ベクトル空間」
で検索すればよろし。
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その教科書、今すぐ捨てなされ。

書いてあることがメチャクチャだもん。
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