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数学の問題です。

ある連続する11個の自然数の2乗の和が平方数となる。そのような連続する11個の自然数を1組求めよ。

これを教えてください

gooドクター

A 回答 (5件)

二次体の整数論によると不定方程式


n²+10=11m² つまり
n²-11m²=-10 の一般解は
n+m√11=±(1±√11)(10+3√11)^k、kは任意の整数
となる。この式で
n+m√11=-(1-√11)(10+3√11)^1 とすれば
n=23、m=7というn=1、m=1についで大きい自然数解
を得る。
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連続する11個の自然数の真ん中の数をnとすると、11個の自然数は、n-5 , n-4 , n-3 , n-2 , n-1 , n , n+1 , n+2 , n+3 , n+4 , n+5 と表されます。

(n≧6) この11個の自然数の2乗の和をSとすると、
S=(n-5)²+(n-4)²+(n-3)²+(n-2)²+(n-1)²+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+(n+4)²+(n+5)²=11n²+110=11(n²+10)

これが平方数になるということは、
n²+10=11m²(m≧3)
と表されます。

n²+10=11m²
n²-1=11m²-11
(n-1)(n+1)=11(m²-1)
11は素数なので、n-1が11の倍数、 または、n+1 が11の倍数です。
よって、
n-1=11k 、または、n+1=11k (k≧1)
と表されます。

これより、
n=11k+1、または、n=11k-1

k=1 より調べると、
k=2 のとき、n=11k+1=11×2+1=23
S=11(n²+10)=11(23²+10)=11×539=11×11×7×7=77²

したがって、求める自然数の組は、
18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28
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反則かもですが


計算機で(^-^;(python)

計算機なら筆算ののし易さを考える必要無いので
そのまんまです。

import math

for n in range(1, 10000):
 sum = 0
 for i in range(11):
  sum += (n+i)**2

 if sum == int(math.sqrt(sum))**2:
  print(n)
  break

答 先頭は18


因みに10万までだと先頭は

18
38
456
854
9192
17132
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連続する11個の自然数は


n-5、n-4、n-3、n-2、n-1、n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5
(ただし、6≦nの自然数)と表すことができる。

二乗の和は
(n-5)^2+(n-4)^2+(n-3)^2+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+
(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2+(n+5)^2
=11n^2+(25+16+9+4+1)×2
=11n^2+110
=11(n^2+10)

これが平方数になるのだから、
n^2+10は11の倍数で、なおかつ平方数でなければいけない。つまり、
n^2+10=11k^2

以下、順にk、k^2、n^2を記載すると
1  1 1 →6≦nに反するので不適格。
2  4 34
3  9 89
4 16 166
5 25 265
6 36 386
7 49 529=23^2

以上から、18~28の11個の自然数が題意を満たすことがわかる。
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もっとスマートなやり方がありそうな気もするけど。



連続する11個の自然数の真ん中をxとする。
そのとき、連続する11個の自然数の2乗の和は
(x-5)^2+(x-4)^2+…+(x+4)^2+(x+5)^2
=11x^2+110
=11(x^2+10)
これが平方数でなければならないので、
x^2+10は11×m^2(m:自然数)を満たさなければならない。
あとは、mをしらみつぶし。
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