次の問題の解き方が分かりません。どなたかお教え願います。 「Vを有限次元実ベクトル空間とし、W、W’

次の問題の解き方が分かりません。どなたかお教え願います。 「Vを有限次元実ベクトル空間とし、W、W’をVの部分空間とする。商ベクトル空間V/WとV/W’に対し、自然な写像p:V→V/Wとq:V→V/W’を考える。W’⊂Wのとき、実ベクトル空間としての同型(V/W’)/(W/W’)≒V/Wが成り立つことを示せ。」

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/16 18:43

有限次元ベクトル空間の同型は、

スカラー体と次元だけできまります。
W’, W, V のスカラーはどれも実数で、共通です。
あとは、次元の計算をするだけですね。
W’, W/W’, V/W をそれぞれ a, b, c 次元とすると、
W, V がそれぞれ a+b, a+b+c 次元となることから
V/W’ は (a+b+c)-a 次元であり、
よって (V/W’)/(W/W’) は (b+c)-b 次元となって
V/W の次元と一致します。

やや込みいっている箇所があるとすれば、
(W/W’) が (V/W’) の部分空間であることを示して
(V/W’)/(W/W’) がちゃんと定義されることを確認
するところぐらいでしょうか。
問題の文章からすると、そこは割愛してもいいのかも
しれないけれど。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/03/17 11:47

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/16 15:35

V/Wは、Vの「（Vに対する）Wの直交補空間への正射影」と言い換えても同じです。

（そういや似たようなのをやったばかり→ http://oshiete.goo.ne.jp/qa/12249632.html ただし、質問者氏が2x2の行列の積を計算できない方だったんで、細かく説明する気を無くしたんでしたが。）
　W’⊂W ってことは (Wの直交補空間)⊂(W'の直交補空間)です。で、ご質問の問題は、V/Wを2段階に分けて、「Vから(W'の直交補空間)への正射影を、さらに (Wの直交補空間)へ正射影する」とやっても同じことだ、と証明しろという話です。

この回答へのお礼

ご回答くださいまして、ありがとうございました。

お礼日時：2021/03/17 11:47