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多様体Aの部分集合Bが多様体になるとき、Bは「Aの部分多様体」になりますか。

具体的には一般線形変換群GL(n;R)は多様体となり、一方その部分集合である多様体直交群O(n)がGL(n;R)の部分多様体になっているかどうかが知りたいです。
(ここでO(n)は実正方行列M(n,R)の部分多様体であることは理解しています)

具体例について回答してくださっても、一般的に回答してくださってもどちらでも助かります。よろしくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (2件)

「多様体」とか、「部分多様体」とか、用語が不正確ですね。


「微分多様体」の部分集合が「微分多様体」であれば
それは「正則な部分多様体」か?という質問であれば、
答えはNOです。
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この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
用語が不正確で申し訳ありません。

今一度用語を復習しました。「正則な部分多様体であるか」、ではなく、
以下の部分多様体の定義の意味で、部分多様体になるかどうかをお伺いしたかったです。


座標近傍を用いた部分多様体の定義。

M を n 次元多様体 とし、0 ≤ k ≤ n は整数とする。このとき、多様体 M の k 次元部分多様体とは S ⊂ M で、任意の p ∈ S について以下の性質が満たされることをいう。

p まわりの M の座標近傍 U ⊂ M, φ: U → Rn で有って、像 φ(S ∩ U)が Rn の k 次元平面 と φ(U) との交わりとなるものが取れる。

更に、上の S ∩ U, φ|S ∩ U 達が S の座標近傍系をなす。


もし可能であれば、この意味で部分多様体になるかどうかを教えていただけないでしょうか。よろしくお願い致します。

お礼日時:2021/03/16 19:19

No.1 補足の定義は


S の位相が M からの相対位相であることを示しており、
「正則な部分多様体」の定義と一致します。
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この回答へのお礼

返事が遅れてすみません。
確認できました。質問に丁寧にお答えしていただきありがとうございました。

お礼日時:2021/03/18 02:32

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gooドクター