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△ABCにおいてBC=a, CA=b, AB=cとする。tanA,tanB,tanCが自然数で、tanA+tanB=tanC が成り立つとき、a:b:cの比を求めよ。

という問題です。加法定理はまだ習っていません。
どなたかわかる方いましたら、教えていただきたいです。

gooドクター

A 回答 (1件)

△ABCにおいて


|BC|=a
|CA|=b
|AB|=c
tanA,tanB,tanCが自然数
tanA+tanB=tanC
3角形の内角の和は180°=πだから
A+B+C=π
C=π-(A+B)

tanC
=tan{π-(A+B)}
=sin{π-(A+B)}/cos{π-(A+B)}
=sin(A+B)/-cos(A+B)
↓加法定理(下記参照)から
=-(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB-sinAsinB)
=-(sinA/cosA+sinB/cosB)/{1-(sinA/cosA)(sinB/cosB)}
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tanA+tanB=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
↓両辺に0≠(tanAtanB-1)/(tanA+tanB)をかけると
tanAtanB-1=1
↓両辺に1を加えると
tanAtanB=2
↓tanAは自然数で2の約数だから
tanA=1,または,tanA=2

tanA=1の時tanB=2,tanC=tanA+tanB=1+2=3
tanA=2の時tanB=1,tanC=tanA+tanB=2+1=3

tanA=1の時
tanA=sinA/cosA=1
sinA=cosA
1=(sinA)^2+(cosA)^2=2(sinA)^2
1=2(sinA)^2
1/2=(sinA)^2
sinA=1/√2
cosA=1/√2
tanB=sinB/cosB=2
sinB=2cosB
(sinB)^2=4(cosB)^2
1=(sinB)^2+(cosB)^2=5(cosB)^2
1=5(cosB)^2
1/5=(cosB)^2
cosB=1/√5
sinB=2/√5
tanC=sinC/cosC=3
sinC=3cosC
(sinC)^2=9(cosC)^2
1=(sinC)^2+(cosC)^2=10(cosC)^2
1=10(cosC)^2
1/10=(cosC)^2
cosC=1/√10
sinC=3/√10
正弦定理から
a/sinA=b/sinB=c/sinC

a:b:c
=sinA:sinB:sinC
=1/√2:2/√5:3/√10
=
√5:2√2:3

tanA=2の時
AとBを入れ替えると
a:b:c
=sinA:sinB:sinC
=
2√2:√5:3

-------------------------------
加法定理の作り方

オイラーの公式
e^(iA)=cosA+isinA
を覚える
指数法則
e^{i(A+B)}=e^(iA)e^(iB)
を使う
オイラーの公式から
e^{i(A+B)}=cos(A+B)+isin(A+B)
e^(iA)=cosA+isinA
e^(iB)=cosB+isinB

e^(iA)e^(iB)=(cosA+isinA)(cosB+isinB)
e^(iA)e^(iB)=cosAcosB-sinAsinB+i(sinAcosB+cosAsinB)
↓e^{i(A+B)}=e^(iA)e^(iB)だから
e^{i(A+B)}=cosAcosB-sinAsinB+i(sinAcosB+cosAsinB)
↓e^{i(A+B)}=cos(A+B)+isin(A+B)だから
cos(A+B)+isin(A+B)=cosAcosB-sinAsinB+i(sinAcosB+cosAsinB)
↓実部,虚部それぞれ等しいから

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
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