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点や直線はどのように数学的に定義されるのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (11件中1~10件)

定義とは言えませんが「点」というのは


少なくとも集合の元であります。
どの集合の元であるかが大切なのです。
(どんな構造をもったものか)

また、直線も、点を集めてきたものです。


例えば「最短距離」と習ったかも知れませんが
長い、短いの概念は、集合に「距離」という構造が入って、初めて認識できます。
距離という構造も、1通りとは限らず、無限通りあるかもしれません。

つまり、「点」はとある構造をもった集合の元のことです。

ちなみに、みなさんが想像するような点は
ユークリッド空間という集合に
ユークリッド位相という構造と
ユークリッド距離という構造を入れたものです。
(正確には、距離から位相は導くことが可能ですが。)
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直線の話でなく点。


なお、非ユークリド幾何学は線形? 知らないけど。
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直線を定義するのに必要なのは、


位相構造じゃなく線型構造。
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位相構造をもつ集合の元を点と呼び替えているだけで


定義ではない。

ベクトル空間だけでなく色々な空間がありそうだし。
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点... ベクトル空間の元


直線... ベクトル空間の一次元部分アフィン空間
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この回答へのお礼

幾何学のそこら辺の話しは何の本にかかれているのでしょうか?

高校数学だと点や直線、平面とか
向きや大きさの定義がなくて、真面目に考え始めると
よくわからなくなります。

お礼日時:2021/03/20 13:42

いみじくもヒルベルトが示したように、点、線、平面は


定義できません(大昔)。

できるのは、これらの間の関係だけです。
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点とは、空間上や座標上の特定の位置を指す概念。


広がりも長さもその他の量も持たない。

直線とは、定義される空間内で曲率を持たず無限に続く線を指す。
ちなみに線は、長さと曲率のみの量を持ち、幅などそれ以外の量を持たないもの。
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勝手に補足ですが「部分のないもの」と言うのはユークリッドの「原論」で書かれている定義です。

ちなみに原論では線は「幅のない長さ」と定義されています。
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点:部分のないもの。

線と線が交わった処。

直線:その上の点に対して一様に横たわる線。
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高校時代に教わった定義ですが。



点とは、位置があって面積がないモノ。

線とは、長さがあって幅が無いモノ。

直線とは、点と点を結ぶ最短距離の線。
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