運動量の問題

直線状の線路を速度Vでなめらかに走るトロッコに乗っている人が質量mのボールを後方に向かって投げた。ボールは人から見て速さvで遠ざかって行った。トロッコと人を合わせた質量はMであるとして投げたあとのトロッコの速度V’とボールの地表に対する速度v’を求めよ。

という問題で解説にv’=V’-vと書いてありました。僕はvが相対速度だと思ったのでv=v’+V’になると考えていたのですが

教えていただけるとありがたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/19 18:35

V' も v' も「ベクトル」として扱わないといけませんから、「どちら向きを正とするか」をきちんと決めなければいけません。

トロッコの進む向き（投げる前の V も投げた後の V' も同じ方向のはず）を正とすれば、「後方」（負の向き）にボールを投げた後は
　v' < V'
となるので、相対速度を v>0 とすれば
　v = V' - v'　　　①
ということになります。「２つの速度の差（の絶対値）」が「相対速度」ですから。

質問者さんは、おそらく
・V' と v' は「地表に対する速度」（座標軸は「地表」にある）
・相対速度を「V' を基準にした速度」（座標軸は「トロッコ」にある）
をごちゃごちゃにして考えていると思います。
上の①の式は、「地表に対する速度」で「相対速度を表したもの」になります。

いずれにしても
＞僕はvが相対速度だと思ったのでv=v’+V’になると考えていたのですが
ということはあり得ないと思います。
その式の「物理的な意味」はどういうことですか？

この回答へのお礼

多分ごちゃごちゃになっていました！
どこがおかしいのか分からなかったのでスッキリしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/03/21 17:16

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/03/20 17:49

vは「速度」ではなくて「速さ」だから、ベクトルの「大きさ」で

正の値。後ろに投げたのだから、「前方を正とする速度」で表すと
ボールを投げた「後」のトロッコに対するボールの相対速度は -v

地表に対する速度は この2つの「速度」の和だから
'V+(-v)

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/20 14:18

No.3 です。

何となく質問者さんの考えたことが想像できました。

ボールを後方に投げた後、
・トロッコは正方向に V' で進む
・ボールはトロッコと逆方向（負方向）に v' で進む、つまり速度は -v'

なので、相対速度（トロッコとボールの速度差）は
　v = V' - (-v') = V' + v'

と考えたのではありませんか？
質問者さんは、無意識のうちに
・ボールは負方向に進む。その絶対値が v' （v' ≧ 0）
と考えてはいませんか？

はじめの速度 V に対する投げた速さによって、地表から見た v' は正のことも負のこともあり得ます。それは「v'」という記号で置き換えたものが「正か負か」で決まるものであり、勝手に「方向」や「正負」（あるいはそれを「絶対値」で扱ってよいか）ということを決めてはいけません。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/03/19 17:26

> ボールは人から見て速さvで遠ざかって行った。

この「人」とは、トロッコ上の人とすれば、
vが、トロッコと投げたボールとの相対速度になります。

V；トロッコの初速度、当然対地速度
V’；投げたあとのトロッコの速度、当然対地速度
v'；ボールの対地速度

vをトロッコと投げたボールとの相対速度とするならば、
v=v’+V’　になります。

> という問題で解説にv’=V’-vと書いてありました。
V’=ｖ’+v　と言っています。
投げた後のトロッコの対地速度が、
ロッコと投げたボールとの相対速度を超えることはあり得ません。

> ボールは人から見て速さvで遠ざかって行った。
このvの解釈が不適切としか言いようがありません。
用は、設問が不適切、という事でしょう。

No.1 回答者： EZWAY 回答日時： 2021/03/19 17:04

こういうものは、人に教えてもらうというよりも、自分で図を書いて考えれば簡単にわかりそうなことだと思いますけどね。

たとえば、トロッコが右にVで移動し、そこから左にvの速度（これは地面に対してではなくトロッコに対して）で投げたのであれば、Vからvを引いた速度で地面に対して右方向に移動していることになります。
つまり、v'=V-v'で右方向に移動している。
v'が負の値になるならボールは左方向ということになります。
で、一体どこがわからないのでしょうか。

＞僕はvが相対速度だと思った
何に対してでしょうか？問題文には「ボールは人から見て速さvで遠ざかって行った」と書いてあるわけですから、トロッコから見た場合の相対速度です。トロッコの移動方向とボールの投げた方向は逆なので、V'とvの差で表されます。V'とvがいずれも正の値であると考えるべきで、方向が違うんだから、符号も逆になります。