教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

y={x^(1/3) +1}{x^(2/3)+1}
この関数の微分が分かりません。
途中式の解説をお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

y=f(x)g(x),y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)を使って、


y’={x^(1/3) +1}’{x^(2/3)+1}+{x^(1/3) +1}{x^(2/3)+1}’
 =(1/3)x^(-2/3){x^(2/3)+1}+{x^(1/3) +1}(2/3)x^(-1/3)
=1/3+(1/3)x^(-2/3)+2/3+(2/3)x^(-1/3)
=1+{(1/3)x^(-2/3)}+{(2/3)x^(-1/3)}
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普通に展開したら、出来るでしょ。


y={x^(1/3) +1}{x^(2/3)+1}=x+x^(2/3)+x^(1/3)+1 。
y'=1+(2/3)x^(-1/3)+(1/3)x^(-2/3) 。
パソコンで書くと見難いですが、手書きならば、
積の微分式を使うより 簡単だと思いますよ。
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u = x^(1/3) と置いたら?


y = (u+1)(u^2+1)
 = u^3 + u^2 + u + 1,
dy/dx = (dy/du) (du/dx)
   = (3u^2 + 2u + 1) (1/3)x^(1/3 - 1)
   = (3u^2 + 2u + 1)(1/3)/u^2
   = 1 + (2/3)/u + (1/3)/u^2
   = 1 + (2/3)/x^(1/3) + (1/3)x^(2/3).
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積の微分の応用だね。



y'={(1/3)x^(-2/3)}{x^(2/3)+1}+{x^(1/3) +1}{(2/3)x^(-1/3)}
=(1/3){1+x^(-2/3)}+(2/3){1+x^(-1/3)}
=1+{(1/3)x^(-2/3)}+{(2/3)x^(-1/3)}
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