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画像の式は一行目からどうやって二行目になったのでしょうか?

「画像の式は一行目からどうやって二行目にな」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 以前にmtrajcpさんに応えていただいたのですが、どんな回答か忘れてしまいまして。

      補足日時:2021/03/23 12:36
gooドクター

A 回答 (3件)

|z-a|=r


↓両辺をrで割ると
|(z-a)/r|=1
複素数(z-a)/rに対して
(z-a)/r=x+iy
となる実数x,yがある
1=|(z-a)/r|=|x+iy|=√(x^2+y^2)
だから
1=√(x^2+y^2)
1=x^2+y^2
だから
x=cosθ,y=sinθとなるθ(0≦θ≦2π)があるから
(z-a)/r=x+iy=cosθ+isinθ
↓e^(iθ)=cosθ+isinθだから
(z-a)/r=e^(iθ)
↓両辺にrをかけると

z-a=re^(iθ)
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この回答へのお礼

ありがとうこざいます。

お礼日時:2021/03/23 20:17

←補足



mtrajcpさんの回答がどんなものだったかは、私も覚えてない。
私の回答は、No.1 のとおり。
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一行目の式が二行目の式へ変形できるかというと、やや微妙。



一行目の式が成立しているという条件下に
二行目の式を満たす θ が存在する...
という意味では変形できるけれども。

今回の質問文だけからは読み取れないのだが、
これまでに連投されてきた膨大な質問たちの趣旨から汲むと、
言いたいことは、与えられた定数 a,r に対して
一行目の式を満たす z の集合が、
実数 θ に対して二行目の式で表される z と一致する理由
を考えているんだろうなとは思われる。

その話題でいいのであれば、その理由は、
|w|=1 を満たす複素数 w が w=e^(iθ), θ∈実数
であるからと言えるだろう。 で、これが何故かと言えば、
オイラーの公式 e^(iθ)=(cosθ)+(sinθ)i に尽きる。
w=x+yi, x,y∈実数 と置けば、
x^2+y^2=1 と (x,y)=(cosθ,sinθ), θ∈実数
が同値だから。
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